matlab pdepe求解带8个边界条件的偏微分方程组

在MATLAB中，使用pdepe函数可以求解带有偏微分方程组的问题。偏微分方程组需要满足以下条件:

- 边界条件必须是线性的，即边界条件可以表示为u(x,t)=g(x,t)或u_x(x,t)=h(x,t)的形式。
- 在时间方向上必须是一个常规的偏微分方程，即ut=F(x,t,u,ux,uy,...)。

对于带有8个边界条件的问题，可以将其分为两个4个变量的方程组。然后将每个方程组的四个变量视为一个整体，将其视为单个方程组进行求解。例如，假设我们有一个带有8个边界条件的问题：

$\begin{aligned} u_{1t} &= f_1(x,t,u_1,u_2,u_3,u_4,u_{1x},u_{1y}) \\ u_{2t} &= f_2(x,t,u_1,u_2,u_3,u_4,u_{2x},u_{2y}) \\ u_{3t} &= f_3(x,t,u_1,u_2,u_3,u_4,u_{3x},u_{3y}) \\ u_{4t} &= f_4(x,t,u_1,u_2,u_3,u_4,u_{4x},u_{4y}) \end{aligned}$

其中4个变量u1，u2，u3和u4是在空间上定义的。边界条件为：

$\begin{aligned} u_1(0,t) &= g_{11}(t) \\ u_1(L,t) &= g_{12}(t) \\ u_2(0,t) &= g_{21}(t) \\ u_2(L,t) &= g_{22}(t) \\ u_3(x,0) &= g_{31}(x) \\ u_4(x,0) &= g_{41}(x) \\ u_{3x}(x,0) &= g_{32}(x) \\ u_{4x}(x,0) &= g_{42}(x) \end{aligned}$

可以将其分为两个方程组：

$\begin{aligned} u_{1t} &= f_1(x,t,u_1,u_2,u_{1x},u_{1y}) \\ u_{2t} &= f_2(x,t,u_1,u_2,u_{2x},u_{2y}) \end{aligned}$

其中边界条件为：

$\begin{aligned} u_1(0,t) &= g_{11}(t) \\ u_1(L,t) &= g_{12}(t) \\ u_2(0,t) &= g_{21}(t) \\ u_2(L,t) &= g_{22}(t) \\ u_{1y}(x,0) &= 0 \\ u_{2y}(x,0) &= 0 \end{aligned}$

和

$\begin{aligned} u_{3t} &= f_3(x,t,u_3,u_4,u_{3x},u_{3y}) \\ u_{4t} &= f_4(x,t,u_3,u_4,u_{4x},u_{4y}) \end{aligned}$

其中边界条件为：

$\begin{aligned} u_3(x,0) &= g_{31}(x) \\ u_4(x,0) &= g_{41}(x) \\ u_{3x}(x,0) &= g_{32}(x) \\ u_{4x}(x,0) &= g_{42}(x) \\ u_{3y}(0,t) &= 0 \\ u_{4y}(L,t) &= 0 \end{aligned}$

然后使用pdepe来解决这两个方程组。请注意，需要在每个方程组中指定初始条件，即在t=0时的u1，u2，u3和u4的值。