多段图动态规划求最短路径

多段图动态规划是一种求解最短路径问题的有效方法，特别适用于有许多中间节点的情况。下面是多段图动态规划的基本步骤：

1. 将图分为多个阶段。每个阶段包含了一部分节点，节点之间没有边相连，只能在不同阶段之间转移。

2. 对每个阶段进行动态规划。假设第i个阶段包含了节点集合Si，定义d[i][j]为从起点到第i个阶段中节点j的最短路径长度。

3. 进行状态转移。对于第i个阶段中的每个节点j，将其与第i+1个阶段中所有可达的节点k进行比较，更新d[i+1][k]的值。具体来说，d[i+1][k]的值可以从d[i][j]+w(j,k)中得到，其中w(j,k)表示从节点j到节点k的边权值。

4. 最终的最短路径长度为d[n][m]，其中n为总阶段数，m为终点所在的节点。

下面是一个例子，说明如何使用多段图动态规划求解最短路径问题：

假设有一个有向图，共有6个节点，如下图所示：

   1 -2-> 2 -1-> 3 -3-> 4
   ^      |      |      |
   |      1      |      2
   |      v      v      v
   6 -4-> 5 -3-> 6 -1-> 7

假设起点为节点1，终点为节点7，要求从起点到终点的最短路径。

首先将图分为3个阶段。第1个阶段包含节点1，第2个阶段包含节点2、3、5，第3个阶段包含节点4、6、7。

然后对每个阶段进行动态规划。设d[i][j]表示从起点到第i个阶段中节点j的最短路径长度。

对于第1个阶段，起点为1，所以d[1][1]=0，其它节点的值为正无穷。

对于第2个阶段，可以从第1个阶段中的节点1转移过来。具体来说，有：

d[2][2] = d[1][1] + 2 = 2
d[2][3] = d[1][1] + 2 + 1 = 3
d[2][5] = d[1][1] + 2 + 4 = 6

对于第3个阶段，可以从第2个阶段中的节点2、3、5转移过来。具体来说，有：

d[3][4] = min(d[2][2] + 1 + 3, d[2][3] + 3, d[2][5] + 1 + 3) = 9
d[3][6] = min(d[2][2] + 1 + 4, d[2][3] + 1 + 3, d[2][5] + 4) = 7
d[3][7] = min(d[2][2] + 1 + 4 + 1, d[2][3] + 3 + 1, d[2][5] + 1 + 3 + 1) = 10

最终的最短路径长度为d[3][7]=10，路径为1->2->3->5->6->7。