考虑一个包含n≥ 2个企业以古诺模型竞争的产业。我们分析如下动态博弈:第一阶段，每个企业决定是否形成卡特尔;第二阶段，所有企业以古诺模型方式竞争。卡特尔会协调其生产决策以最大化其总利润，而剩下的n-k个企业不会相互协调。市场的逆需求函数为p(Q)=a-Q，其中Q≥0表示总产出。每个企业的边际成本均为C0，其中a>C0≥0。卡特尔的形成存在规模效应，从而使其边际成本降为C1<C0。而非参与者的边际成本依然为C0。 (a) 作为参照，请算出卡特尔形成前每个企业的利润。 (b) 请找出卡特尔参与者与非参与者各自的产量。 (c）计算参与者与非参与者的利润，并写出参与者不背离卡特尔的条件。

(a) 在卡特尔形成之前，每个企业的利润为：

πi = (a - (n - 1)q - qi)qi - C0qi

其中，q是市场总产出，qi是企业i的产出。

将逆需求函数代入，得到：

πi = (a - nqi)qi + (n - 1)qiqi - C0qi

求导并令导数为零，得到企业i的最优产出：

qi = (a - C0) / (2nC0 - a)

将qi代入到πi中，得到每个企业的最大利润：

πi = [(a - C0) / 2n]^2

(b) 在卡特尔形成后，所有参与者企业将协同决定产量q1，剩下的n-k个企业将分别决定产量q2，q3，...，qn-k。

卡特尔的目标是最大化总利润，其最优产量为：

Qc = (na - kC1) / (2na - kC1)

卡特尔参与者的产量为：

q1 = Qc / k

非参与者的产量为：

qi = [(a - C0) - Qc] / (n - k)

(c) 参与者的总利润为：

πc = k(q1 - C1)q1 + (n - k)qi(qi - C0)

将q1和qi代入，得到：

πc = [(na - kC1)^2 / 4k(2na - kC1)] - kC1^2 / 4 - (n - k)C0^2 / 4

非参与者的总利润为：

πnc = qi(qi - C0) = [(a - C0 - Qc) / (n - k)]^2

参与者不背离卡特尔的条件是，其离开卡特尔后的利润不得高于留在卡特尔的利润。即：

πnc ≥ πc / (n - k)

将πc和πnc代入，整理得到：

C1 ≥ a - (n - k)C0 - (k^2 / (2na - kC1)) * [(n-k)(a-C0) - kC1]

这就是参与者不背离卡特尔的条件。