妈妈给小明家新送来 y个鸡蛋。 已知小明家原有鸡蛋的个数x是满足“三个三个的数剩1个，5个5个数剩z个，7个7个数剩3个”的最小数， 请问小明家共有多少个鸡蛋？ （设输入为正数，不考虑非法输入）

### 回答1：
小明家共有x+y个鸡蛋。根据题意可得：

x ≡ 1 (mod 3)

x ≡ z (mod 5)

x ≡ 3 (mod 7)

由于3、5、7互质，根据中国剩余定理，可以求出x的最小正整数解为：

x = 52a + 1

其中a为正整数。

因为x是满足条件的最小数，所以x必须大于等于y，即：

x + y ≥ x = 52a + 1

所以：

y ≥ 52a + 1 - x

将x ≡ 1 (mod 3)代入得：

x = 3b + 1

其中b为正整数。

将x ≡ z (mod 5)代入得：

x = 5c + z

其中c为正整数。

将x ≡ 3 (mod 7)代入得：

x = 7d + 3

其中d为正整数。

将以上四个式子联立，得到：

52a + 1 = 105e + 22z

其中e为正整数。

因为a是正整数，所以22z必须是偶数，即z必须是偶数。

又因为x是满足条件的最小数，所以a、b、c、d、e都必须是正整数且最小。

根据以上条件，可以列出z的取值范围：

z = 2, 12, 22, 32, 42, 52

将z的每个取值代入上式，得到：

a = 5, 31, 57, 83, 109, 135

b = 2, 8, 14, 20, 26, 32

c = 1, 6, 11, 16, 21, 26

d = 3, 10, 17, 24, 31, 38

e = 1, 2, 3, 4, 5, 6

将a的每个取值代入x = 52a + 1，得到x的每个取值：

x = 261, 1605, 2949, 4293, 5637, 6981

将x的每个取值代入y ≥ 52a + 1 - x，得到y的每个取值：

y ≥ 1, 47, 91, 135, 179, 223

因为y必须是正整数且最小，所以y的取值为：

y = 47

所以小明家共有：

x + y = 1605 + 47 = 1652

个鸡蛋。

### 回答2：
题目中给出了小明家原有鸡蛋的个数x满足“三个三个的数剩1个，5个5个数剩z个，7个7个数剩3个”，所以可以列出如下方程组：

x ≡ 1 (mod 3)

x ≡ z (mod 5)

x ≡ 3 (mod 7)

其中，≡表示同余。我们可以通过求解这个方程组来确定小明家原有鸡蛋的个数x。

利用中国剩余定理，可以将上述方程组转化为：

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)

x ≡ a3 (mod m3)

其中，

a1 = 1，m1 = 3

a2 = z，m2 = 5

a3 = 3，m3 = 7

由于m1、m2、m3互质，因此存在一组唯一解。可以利用扩展欧几里得算法求得模数之间的乘法逆元，从而求出中国剩余定理的解。

将y个新鸡蛋加入小明家的存货中，得到最终的鸡蛋数量为 x + y。

因此，小明家共有 x + y 个鸡蛋。

### 回答3：
根据题意可得到以下方程组：

x ≡ 1 (mod 3)

x ≡ z (mod 5)

x ≡ 3 (mod 7)

我们可以通过中国剩余定理来求解，将每个同余方程的系数相乘得到 M = 3 × 5 × 7 = 105，然后求出 M/3, M/5 和 M/7 在模对应系数下的逆元 t3, t5 和 t7，再将它们乘以对应的同余方程系数和余数，相加后再对 M 取模，得到解 x。

具体计算过程如下：

M = 3 × 5 × 7 = 105

t3 = 70, t5 = 63, t7 = 15

x = (1×t3×35 + z×t5×21 + 3×t7×15) mod 105

化简可得：x = 53z + 22 (mod 105)

因为 y 和 x 都是整数，所以当 x + y 是 3 的倍数时，有 y ≡ 0 (mod 3)；是 5 的倍数时，有 y ≡ 0 (mod 5)；是 7 的倍数时，有 y ≡ 0 (mod 7)。

因此，我们可以定义一个新的变量 k，使得 x+y+ky 是 3、5、7 的公倍数，即：

x + y + ky ≡ 0 (mod 3)

x + y + ky ≡ 0 (mod 5)

x + y + ky ≡ 0 (mod 7)

根据同余方程的性质，可以得到：

ky ≡ (2z + 3) (mod 3)

ky ≡ (2x + 3) (mod 5)

ky ≡ (4x + 4z + 3) (mod 7)

可以求出 k 在模对应系数下的逆元 t3', t5' 和 t7'，然后将它们乘以对应的同余方程系数和余数，相加后再对 M 取模，得到解 k。

具体计算过程如下：

t3' = 2, t5' = 3, t7' = 6

k = (t3'×(2z+3)×35 + t5'×(2x+3)×21 + t7'×(4x+4z+3)×15) mod 105

化简可得：k = 29x + 68z + 27 (mod 105)

将 k 的值代入上面的方程中得到：x + y = 105n + 53z + 22 - 29x - 68z - 27n

化简可得：y = 78n - 26x - 15z

因为 y 是整数，所以可以将上式中的 n 设为 1，得到：y = 78 - 26x - 15z

将 y 和 x 的表达式代入第一个同余方程中，得到：

53z + 22 + y ≡ 1 (mod 3)

化简可得：z + y ≡ 2 (mod 3)

因为 y 的表达式中不含 z，所以我们可以将 z 看作是独立于 y 的变量，然后解出使得 z + y ≡ 2 (mod 3) 的最小正整数解 z0。将 z0 带入 y 的表达式中，即可得到小明家的鸡蛋总量 x+y+z0。