matlab抽样信号观测及抽样定理验证

Matlab中可以使用函数`downsample`来进行抽样操作，例如对信号x进行2倍下采样：

Fs = 1000;  % 采样频率
t = 0:1/Fs:1-1/Fs;  % 生成时间向量
x = sin(2*pi*100*t) + sin(2*pi*200*t);  % 生成信号

% 对信号进行2倍下采样
x_down = downsample(x, 2);  
Fs_down = Fs/2;  % 下采样后的采样频率

% 绘制原始信号和下采样后的信号
subplot(2,1,1)
plot(t, x)
title('原始信号')
xlabel('时间')
ylabel('幅值')
subplot(2,1,2)
plot(0:1/Fs_down:1-1/Fs_down, x_down)
title('下采样后的信号')
xlabel('时间')
ylabel('幅值')

抽样定理是指，如果信号的最高频率为$f_{max}$，则采样频率$F_s$应该满足$F_s \geq 2f_{max}$，才能完全恢复原始信号。我们可以通过生成一个高频信号，并采样不同的采样频率，然后观察恢复信号是否与原始信号一致来验证抽样定理。例如：

fmax = 100;  % 信号最高频率
Fs = 2*fmax;  % 采样频率
t = 0:1/Fs:1-1/Fs;  % 生成时间向量
x = sin(2*pi*fmax*t);  % 生成信号

% 对信号进行不同采样频率的采样，并尝试恢复信号
Fs_list = [fmax, 1.5*fmax, 1.2*fmax, fmax, 0.8*fmax];
for i=1:length(Fs_list)
    Fs = Fs_list(i);
    Ts = 1/Fs;
    n = 0:Ts:1-Ts;
    xn = sin(2*pi*fmax*n);
    xn_recover = interp1(n, xn, t, 'spline');  % 采用样条插值恢复信号
    subplot(length(Fs_list), 1, i)
    plot(t, x, 'r', t, xn_recover, 'b--')
    xlabel('时间')
    ylabel('幅值')
    title(['采样频率为', num2str(Fs), 'Hz'])
    legend('原始信号', '恢复信号')
end

这段代码将生成一个高频正弦信号，并对其进行不同采样频率的采样，然后使用样条插值法恢复信号。最终绘制出每个采样频率下的原始信号和恢复信号，我们可以观察到，在采样频率大于等于$2f_{max}$时，恢复信号与原始信号一致，验证了抽样定理。