最小二乘方法的数学原理

最小二乘法是一种常见的数学优化方法，用于寻找一组数据点的最佳拟合直线或曲线。其主要思想是通过最小化所有数据点到拟合直线或曲线的垂直距离的平方和来确定最佳拟合线。

具体来说，设有 $n$ 个数据点 $(x_i, y_i)$，要寻找一条形如 $y = f(x, \boldsymbol{\beta})$ 的曲线，其中 $\boldsymbol{\beta}$ 是待求参数向量，使得该曲线与数据点的误差最小。误差可以用每个数据点到曲线的垂直距离的平方来表示，即：

$$
\operatorname{RSS}(\boldsymbol{\beta}) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - f(x_i, \boldsymbol{\beta}))^2
$$

其中 $\operatorname{RSS}$ 表示残差平方和。最小二乘法就是要找到一组参数 $\boldsymbol{\beta}$，使得 $\operatorname{RSS}(\boldsymbol{\beta})$ 最小。

最小二乘法的求解可以利用矩阵求导等数学方法，得到参数向量的解析解。对于一般的线性回归问题，最小二乘法的解析解为：

$$
\boldsymbol{\beta} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y}
$$

其中 $\mathbf{X}$ 是 $n \times p$ 的设计矩阵，每行对应一个数据点，每列对应一个特征；$\mathbf{y}$ 是 $n \times 1$ 的响应变量向量，每个元素对应一个数据点的输出；$\boldsymbol{\beta}$ 是 $p \times 1$ 的参数向量，每个元素对应一个特征的系数。

最小二乘法广泛应用于回归分析、信号处理、图像处理等领域。