给定 n 个正整数，每个数大小不超过 3，那么最多能将这 n 个数分为多少个组， 使得每一组的和都是 7 的倍数？

### 回答1：
可以将所有数分为三类，分别是模 7 余 0、1、2 的数。对于模 7 余 0 的数，它们本身就是 7 的倍数，可以单独分为一组；对于模 7 余 1 和 2 的数，它们加起来可以凑成 7 的倍数，因此可以将它们分为一组；如果有多余的模 7 余 1 或 2 的数，它们也可以单独分为一组。因此，最多能将这 n 个数分为 3 组，使得每一组的和都是 7 的倍数。

### 回答2：
首先，我们需要知道一个事实，7 的倍数加上 7 的倍数仍然是 7 的倍数。举个例子，14 和 21 都是 7 的倍数，它们的和 35 也是 7 的倍数。因此，如果一个组中已经有若干个数加起来是 7 的倍数，那么再添加一个 7 的倍数也是可以的。

接下来，我们来考虑如何将这 n 个数分为尽可能多的组，每组和都是 7 的倍数。我们可以使用贪心算法，每次把当前尽量多的数放到同一个组内。

具体方法如下：

- 遍历整个给定的 n 个数，把它们分成七类：余数为 0，余数为 1，余数为 2 的数各自单独为一类，余数为 3，余数为 4，余数为 5，余数为 6 的数放在一起，组成第四类。这样，我们就得到了四个数组：a，b，c，d。
- 对于第一类数，它们本身就是 7 的倍数，可以单独将它们划分为一组，不需要和其他数合并。
- 对于第二类数，如果找得到一组第三类数，使得它们的和是 7 的倍数，那么这些数就可以放在一起组成一组。我们可以依次尝试每个第二类数，看能否和第三类数中的某个数配对。
- 对于第四类数，如果能找到一个和它们容量相等的若干个第三类数，使得它们的和都是 7 的倍数，那么这些数就可以放在一起组成一组。我们可以使用类似背包的方法，求出第三类数中所有和为 7 的倍数的组合，再依次尝试每个第四类数与这些组合配对。
- 最后，如果还剩下一个或多个第三类数没有与其他数配对，可以将它们分别划分为单独的若干组。

以上方法可以得到一种尽可能多的划分方法，每组和都是 7 的倍数。因为对于每个数而言，如果能和其他数配对，我们总是优先与和它同余数的数配对。这样，每个组中的数同余数的和都是 7 的倍数，尽量避免了无法配对的情况。

最终时间复杂度约为 O(n²)，空间复杂度约为 O(n)。

### 回答3：
问题解析：

题目要求将 n 个正整数分组，使每一组的和都是 7 的倍数。我们可以先统计所有数之和 sum，并将其对 7 取模，记为 mod。若 mod=0，则表示所有数之和已经是 7 的倍数，直接将 n 个数分为一组即可；否则，我们可以采用动态规划的思想，利用 01 背包问题的思路，对 mod 进行拆分，划分成若干个数，

如 mod = 1, 则将 1 看作一个物品，并将所有数对 7 取模后余 1 的数放在物品集合中。我们希望尽量多地选取这些数，以便构成一个和为 7 的倍数，因此，我们需要找到一个最多能选取 i 个物品，使得它们的和等于 7k+1。这就是 01 背包问题的一个求解子问题。对于每个子问题，我们可以采用类似背包问题的动态规划算法，用 F(i, j) 表示前 i 个物品能否选出一个和等于 j 的子集，状态转移方程如下：
$$
F(i,j) = F(i-1, j-k\times 1 ) \ or \ F(i-1, j-k\times 1)
$$
其中 k 代表第 i 个物品选取的次数，一般是 0 或 1. 由此，我们就可以得到 mod 余 1 时，最多能够分成的组数。

同样的，当 mod 为 2、3、4、5、6 时，我们也可以采用类似的动态规划算法求解，直到 mod=0 时结束。

总结：

将 n 个正整数分为多少组，使得每一组的和都是 7 的倍数？对于这个问题，可以采用动态规划算法，通过对 mod 进行拆分，划分成若干个子问题。对于每个子问题，可以利用 01 背包问题的思想，采用动态规划算法来求解，用 F(i, j) 表示前 i 个物品能否选出一个和等于 j 的子集。最后，将各子问题的结果加总，即可得到最终问题的解。