设R是集合上的自反关系和传递关系,证明R与R的逆的交集也是集合上的等价关系。
时间: 2024-04-03 21:30:39 浏览: 30
首先,我们需要证明R与R的逆的交集是自反的、传递的和对称的,即证明它是一个等价关系。具体证明如下:
1. 自反性:对于任意元素x∈集合S,由于R是自反关系,因此(x,x)∈R。又因为R的逆是R本身,因此(x,x)∈R的逆。因此,(x,x)∈R∩R的逆,即R∩R的逆是自反的。
2. 传递性:对于任意元素x,y,z∈集合S,若(x,y)∈R∩R的逆且(y,z)∈R∩R的逆,则(x,z)∈R∩R的逆。由于(x,y)∈R∩R的逆,因此(y,x)∈R∩R的逆。同理,由于(y,z)∈R∩R的逆,因此(z,y)∈R∩R的逆。因此,我们可以得到:(z,y)∈R∩R的逆且(y,x)∈R∩R的逆,由于R是传递关系,因此(z,x)∈R。又因为R的逆是R本身,因此(x,z)∈R∩R的逆。因此,R∩R的逆是传递的。
3. 对称性:对于任意元素x,y∈集合S,若(x,y)∈R∩R的逆,则(y,x)∈R∩R的逆。由于R的逆是R本身,因此(x,y)∈R的逆,即(y,x)∈R。因此,R∩R的逆是对称的。
由于R∩R的逆是自反的、传递的和对称的,因此它是一个等价关系。