举一个mcmc-h的例子

MCMC-H (MCMC with Hamiltonian dynamics) 是一种基于物理学的 MCMC 方法，它使用 Hamiltonian 动力学的方法来构建马尔可夫链，从而提高采样效率。一个典型的 MCMC-H 的例子是使用 Hamiltonian Monte Carlo (HMC) 方法来从多维高斯分布中采样。

假设我们有一个 $D$ 维高斯分布 $p(x)$，我们想要从该分布中采样一些样本。HMC 的过程是这样的：首先，我们引入一个动量变量 $v$，它是一个 $D$ 维向量，并且服从标准正态分布 $p(v) = \mathcal{N}(0, I)$；然后我们构造一个 Hamiltonian，它是动量和位置的函数，定义为 $H(x, v) = -\log p(x) + \frac{1}{2}v^Tv$；接着我们用 Hamiltonian 动力学的方法来模拟系统的演化，从而得到一个新的状态 $(x', v')$，这个过程可以通过一些数值方法来求解 Hamiltonian 方程得到；最后我们按照一定的概率接受或者拒绝这个新状态，从而得到一个新的样本。

HMC 方法相比于传统的 MCMC 方法具有更高的采样效率，因为它通过使用物理学的方法来模拟系统的演化，从而可以跨越那些低概率区域，从而提高采样效率。