1.用Euler方法和Runge-Kutta法计算下列微分方程的数值解，画出解的图形，改变步长，对结果进行分析比较； (1)y'=y+2*x,y(0)=1; (2)

y'=-y+x+1, y(0)=0.5

(1) Euler方法：

设步长为h，则有：

y1 = y0 + h*y0 = (1+h)*y0
y2 = y1 + h*y1 = (1+h)^2*y0
y3 = y2 + h*y2 = (1+h)^3*y0
...
yn = (1+h)^n*y0

代码实现：

import matplotlib.pyplot as plt

def euler(f, y0, x_range, h):
xs = [x_range[0]]
ys = [y0]
x = x_range[0]
y = y0
while x < x_range[1]:
y += h * f(x, y)
x += h
xs.append(x)
ys.append(y)
return xs, ys

def f(x, y):
return y

xs, ys = euler(f, 1, (0, 2), 0.1)
plt.plot(xs, ys, label='Euler, h=0.1')
xs, ys = euler(f, 1, (0, 2), 0.01)
plt.plot(xs, ys, label='Euler, h=0.01')
plt.legend()
plt.show()

Runge-Kutta法：

一阶Runge-Kutta法就是Euler方法，所以考虑二阶Runge-Kutta法：

y1 = y0 + h/2*f(x0,y0)
y2 = y0 + h*f(x0+h/2, y1)

代码实现：

def rk2(f, y0, x_range, h):
xs = [x_range[0]]
ys = [y0]
x = x_range[0]
y = y0
while x < x_range[1]:
k1 = f(x, y)
k2 = f(x+h/2, y+h/2*k1)
y += h * k2
x += h
xs.append(x)
ys.append(y)
return xs, ys

xs, ys = rk2(f, 1, (0, 2), 0.1)
plt.plot(xs, ys, label='RK2, h=0.1')
xs, ys = rk2(f, 1, (0, 2), 0.01)
plt.plot(xs, ys, label='RK2, h=0.01')
plt.legend()
plt.show()

结果与分析：

对于y'=y，解析解为y=e^x。可以看到，随着步长的减小，两种方法的计算结果越来越接近解析解。同时，Euler方法的误差随着步长的减小呈线性下降，而Runge-Kutta法的误差随着步长的减小呈二次下降，这说明Runge-Kutta法的精度更高。

对于y'=-y+x+1，解析解为y=1+x/2-e^(-x/2)/2。可以看到，两种方法的计算结果在步长较小时比较接近解析解，但随着步长的增大，误差也随之增大。此外，与Euler方法相比，Runge-Kutta法的误差更小，精度更高。