某城市天气情况与气象预报分别看成包含{雨,无雨}的随机变量集合X和Y,且联合概率: P(x=雨,y=雨)=1/8,P(x=雨,y=无雨)=1/16,P(x=无雨,y=雨)=3/16,P(x=无雨,y=无雨)=10/16, 求: (1)天气预报准确率; (2)气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y); (3)如果天气预报总预报无雨,求此时气象预报的准确率以及气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y) (4)以上两种情况相比,那种情况天气预报准确率高?从信息论的观点看,哪种情况下的天气预报有意义?
时间: 2024-03-11 11:50:06 浏览: 28
根据题目所给联合概率,可以按照上一题的方法进行计算。
(1) 天气预报准确率为 P(y=x) = P(x=雨,y=雨) + P(x=无雨,y=无雨) = 1/8 + 10/16 = 11/16 ≈ 0.6875。
(2) 气象预报所提供的关于天气情况的信息量可以通过条件熵来计算,即 H(X|Y) = -Σ P(x,y)logP(x|y),其中P(x|y)为条件概率。计算过程如下:
```
P(x=雨|y=雨) = P(x=雨,y=雨) / P(y=雨) = 1/8 / (1/8 + 3/16) = 2/5
P(x=无雨|y=雨) = P(x=无雨,y=雨) / P(y=雨) = 3/16 / (1/8 + 3/16) = 3/8
P(x=雨|y=无雨) = P(x=雨,y=无雨) / P(y=无雨) = 1/16 / (1/16 + 10/16) = 1/11
P(x=无雨|y=无雨) = P(x=无雨,y=无雨) / P(y=无雨) = 10/16 / (1/16 + 10/16) = 10/11
```
因此,H(X|Y) = -[(1/8)log2(2/5) + (3/16)log2(3/8) + (1/16)log2(1/11) + (10/16)log2(10/11)] ≈ 1.045 bit。
(3) 如果天气预报总预报无雨,则条件概率为 P(y=无雨|x),即在已知天气情况为无雨的情况下,预报无雨的概率。计算过程如下:
```
P(y=无雨|x=雨) = P(x=雨,y=无雨) / P(x=雨) = 1/16 / (1/8 + 1/16) = 1/3
P(y=无雨|x=无雨) = P(x=无雨,y=无雨) / P(x=无雨) = 10/16 / (10/16 + 3/16) = 10/13
```
因此,天气预报准确率为 P(y=x) = P(x=雨,y=雨) + P(x=无雨,y=无雨) = 11/16,气象预报准确率为 P(y=无雨|x)P(x=雨) + P(y=无雨|x=无雨)P(x=无雨) = (1/3)×(1/8) + (10/13)×(7/8) ≈ 0.808。计算气象预报所提供的关于天气情况的信息量时,需要重新计算条件概率,计算过程如下:
```
P(x=雨|y=无雨) = P(x=雨,y=无雨) / P(y=无雨) = 1/16 / (1/16 + 10/16) = 1/11
P(x=无雨|y=无雨) = P(x=无雨,y=无雨) / P(y=无雨) = 10/16 / (1/16 + 10/16) = 10/11
```
因此,条件熵为 H(X|Y) = -[(1/16)log2(1/11) + (10/16)log2(10/11)] ≈ 1.077 bit。
(4) 从天气预报准确率的角度来看,第一种情况下天气预报准确率更高。但是从信息论的角度来看,需要比较条件熵 H(X|Y)。可以发现,在第二种情况下,条件熵更小,意味着气象预报所提供的关于天气情况的信息更多,更能够帮助我们准确地预测天气情况,因此从信息论的观点看,第二种情况下气象预报更有意义。
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