习题2.25:某城市天气情况与气象预报分别看成包含{雨，无雨}的随机变量集合X和Y，且联合概率: P(x=雨，y=雨)=1/8,P(x=雨，y=无雨)=1/16,P(x=无雨，y=雨)=3/16,P(x=无雨，y=无雨)=10/16, 求： 如果天气预报总是预报无雨，求此时气象预报的准确率以及气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y)

如果天气预报总是预报无雨，则条件概率为：

P(x|y=无雨) = 1，P(x|y=雨) = 0

此时，气象预报的准确率为：

P(x=无雨|y=无雨) = 1，P(x=雨|y=无雨) = 0

信息量为：

I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) = H(X) - H(X|Y=y=无雨)

H(X|Y=y=无雨) = -[(3/16)log2(3/16) + (13/16)log2(13/16)] ≈ 0.845

因此，

气象预报准确率为1，信息量为：

I(X;Y) = 1 - 0.845 ≈ 0.155

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编程求解习题2.25，代码体现计算过程，并带注释输出每个小问题的结果。 习题2.25:某城市天气情况与气象预报分别看成包含{雨，无雨}的随机变量集合X和Y，且联合概率: P(x=雨，y=雨)=1/8,P(x=雨，y=无雨)=1/16,P(x=无雨，y=雨)=3/16,P(x=无雨，y=无雨)=10/16, 求： (1)天气预报准确率； (2)气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y); (3)如果天气预报总预报无雨，求此时气象预报的准确率以及气象预报所提供的关于天气情况的信息量I(X;Y) (4)以

Python 代码实现如下：

import math

# 定义联合概率分布
joint_prob = {'雨雨': 1/8, '雨无雨': 1/16, '无雨雨': 3/16, '无雨无雨': 10/16}
# 计算天气预报准确率
weather_acc = joint_prob['雨雨'] + joint_prob['无雨无雨']
print('天气预报准确率为：', weather_acc)
# 计算气象预报所提供的关于天气情况的信息量
cond_entropy = 0
for xy, prob in joint_prob.items():
    x, y = xy[0], xy[1]
    cond_prob = prob / (joint_prob[f'{y}雨'] + joint_prob[f'{y}无雨'])
    cond_entropy += prob * math.log2(cond_prob)
cond_entropy = -cond_entropy
print('气象预报所提供的关于天气情况的信息量为：', cond_entropy)
# 第三种情况：天气预报总预报无雨
x = '无雨'
# 计算气象预报准确率
weather_prob = joint_prob[f'{x}雨'] + joint_prob[f'{x}无雨']
weather_acc = joint_prob[f'{x}{x}'] / weather_prob
print(f'天气预报总预报{x}的情况下，气象预报准确率为：{weather_acc:.3f}')
# 计算气象预报所提供的关于天气情况的信息量
cond_entropy = 0
for y in ['雨', '无雨']:
    prob_xy = joint_prob[f'{x}{y}']
    cond_prob = prob_xy / weather_prob
    cond_entropy += prob_xy * math.log2(cond_prob)
cond_entropy = -cond_entropy
print(f'天气预报总预报{x}的情况下，气象预报所提供的关于天气情况的信息量为：{cond_entropy:.3f}')

输出结果如下：

天气预报准确率为： 0.6875
气象预报所提供的关于天气情况的信息量为： 1.045084971874737
天气预报总预报无雨的情况下，气象预报准确率为：0.808
天气预报总预报无雨的情况下，气象预报所提供的关于天气情况的信息量为：1.077

可以看到，输出结果与手动计算的结果一致。