单快拍 伪协方差矩阵的构造

在单快拍（Single-shot）DOA估计中，伪协方差矩阵是用于实现信号源方向估计的重要工具。伪协方差矩阵可以通过接收阵列接收到的信号样本矩阵构造得到。假设接收阵列上有$m$个天线，$n$个信号源，$X\in\mathbb{C}^{m\times t}$表示接收到的信号样本矩阵，其中$t$表示采样点数。那么，伪协方差矩阵可以通过下式构造得到：

$$
\hat{R}=\frac{1}{t}XX^H
$$

其中，$H$表示共轭转置。伪协方差矩阵的构造具有以下特点：

1. 伪协方差矩阵是一个Hermitian矩阵，即$\hat{R}=\hat{R}^H$；
2. 伪协方差矩阵是半正定的，即$x^H\hat{R}x\geq 0$，对于任意的列向量$x\in\mathbb{C}^{m}$；
3. 伪协方差矩阵的秩为信号源数目$n$。

通过伪协方差矩阵的构造，可以实现单快拍DOA估计的信号处理过程。常用的估计算法包括MUSIC算法、ESPRIT算法、ROOT-MUSIC算法等。