请给出 n+1 个顶点的 k 阶/次 B 样条的节点序列， B 样条基函数的支集

假有 n+1 个顶点 $P_0, P_1, ..., P_n$，其中 $P_i$ 的坐标为 $(x_i, y_i)$，则 k 阶/次 B 样条的节点序列为：

$$
t_0 = t_1 = ... = t_k = x_0 \\
t_{i+k} = x_i, \quad i=0,1,...,n-k \\
t_{n+k+1} = t_{n+k+2} = ... = t_{n+2k} = x_n
$$

B 样条基函数的支集为：

$$
[t_i, t_{i+k+1}], \quad i=0,1,...,n-k
$$

对于节点序列和基函数的计算，可以使用递归的方法计算。具体可以参考相关的数值分析教材或者网上的资料。

相关问题

解算三次样条插值函数需要额外补充 个条件。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

解算三次样条插值函数需要额外补充 C. 3 个条件。

三次样条插值函数是一种经典的插值方法，其基本思想是在每个小区间内采用三次多项式函数来逼近给定的离散数据点，从而获得更加平滑的插值曲线。为了确定三次样条插值函数，需要在每个小区间内确定四个系数，因此需要额外补充四个条件。

通常情况下，三次样条插值函数需要满足以下三个条件：

1. 函数值相等条件：对于每个小区间 $[x_i, x_{i+1}]$，插值函数 $S(x)$ 在该区间两端点的函数值相等，即 $S(x_i) = y_i$，$S(x_{i+1})=y_{i+1}$。

2. 一阶导数连续条件：对于每个小区间 $[x_i, x_{i+1}]$，插值函数 $S(x)$ 在该区间两端点的一阶导数相等，即 $S'(x_i) = S' (x_{i+1})$。

3. 二阶导数连续条件：对于每个小区间 $[x_i, x_{i+1}]$，插值函数 $S(x)$ 在该区间两端点的二阶导数相等，即 $S''(x_i) = S'' (x_{i+1})$。

因此，总共需要补充 $3 \times (n-1)$ 个条件，其中 $n$ 是插值节点的个数。

请给出用三次样条插值求函数的C++代码

以下是用三次样条插值求函数的C代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define MAX_N 100

typedef struct {
    double x, y;
} Point;

typedef struct {
    double a, b, c, d, x;
} Segment;

Point points[MAX_N];
Segment segments[MAX_N];
int n;

double f(double x) {
    // 定义待求函数
    return sin(x);
}

void input() {
    // 读入数据
    printf("请输入数据点个数n：");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入数据点：\n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%lf%lf", &points[i].x, &points[i].y);
    }
}

void calc() {
    // 计算三次样条插值
    double h[MAX_N], p[MAX_N], q[MAX_N], r[MAX_N], u[MAX_N], v[MAX_N], w[MAX_N], z[MAX_N];
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        h[i] = points[i + 1].x - points[i].x;
        p[i] = (points[i + 1].y - points[i].y) / h[i];
    }
    for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
        q[i] = h[i - 1] / (h[i - 1] + h[i]);
        r[i] = h[i] / (h[i - 1] + h[i]);
        u[i] = 6 * (p[i] - p[i - 1]) / (h[i - 1] + h[i]);
    }
    v[1] = u[1];
    for (int i = 2; i < n - 1; i++) {
        v[i] = u[i] - q[i] * v[i - 1];
    }
    w[n - 2] = v[n - 2];
    for (int i = n - 3; i >= 1; i--) {
        w[i] = v[i] - r[i] * w[i + 1];
    }
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        segments[i].a = (w[i + 1] - w[i]) / (6 * h[i]);
        segments[i].b = w[i] / 2;
        segments[i].c = (points[i + 1].y - points[i].y) / h[i] - h[i] * (2 * w[i] + w[i + 1]) / 6;
        segments[i].d = points[i].y;
        segments[i].x = points[i].x;
    }
}

double interpolate(double x) {
    // 插值函数
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        if (x >= segments[i].x && x <= segments[i + 1].x) {
            double dx = x - segments[i].x;
            return segments[i].a * dx * dx * dx + segments[i].b * dx * dx + segments[i].c * dx + segments[i].d;
        }
    }
    return NAN;
}

void output() {
    // 输出结果
    printf("请输入要查询的x值：");
    double x;
    scanf("%lf", &x);
    printf("f(%g) = %g\n", x, f(x));
    printf("s(%g) = %g\n", x, interpolate(x));
}

int main() {
    input();
    calc();
    output();
    return 0;
}