python 二次罚函数法

二次罚函数法（Quadratic Penalty Method）是一种求解约束优化问题的方法。其基本思想是将原问题的约束条件转化为目标函数中的惩罚项，通过增加目标函数的值来“惩罚”违反约束条件的解。

具体而言，对于一个带有约束条件的优化问题：
$$
\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \\
s.t. \quad g_i(x) \leq 0, \quad i=1,2,\cdots,m
$$
其中，$f(x)$ 是目标函数，$g_i(x)$ 是约束条件。

二次罚函数法的目标函数形式为：
$$
F(x) = f(x) + \frac{\rho}{2} \sum_{i=1}^m \max(0, g_i(x))^2
$$
其中，$\rho$ 是罚函数参数，用于调整惩罚项的强度。当 $g_i(x) \leq 0$ 时，$\max(0,g_i(x))^2=0$，不对目标函数造成影响；当 $g_i(x) > 0$ 时，$\max(0,g_i(x))^2$ 会增加目标函数的值，从而“惩罚”违反约束条件的解。

二次罚函数法可以通过不断增加罚函数参数 $\rho$ 来逼近原问题的最优解。具体而言，可以采用以下迭代算法：

1. 初始化参数 $\rho_0 > 0$，初始解 $x_0$；
2. 对于 $k = 0, 1, 2, \cdots$，执行以下步骤：
1. 解决带有二次罚函数的无约束优化问题：
$$
x_{k+1} = \arg\min_{x \in \mathbb{R}^n} F(x) = f(x) + \frac{\rho_k}{2} \sum_{i=1}^m \max(0, g_i(x))^2
$$
2. 如果满足停机准则，则输出 $x_{k+1}$，否则令 $\rho_{k+1} = c \rho_k$，其中 $c > 1$ 是一个常数，返回步骤 2.

需要注意的是，二次罚函数法可能会陷入局部最优解，且迭代过程可能比较缓慢。因此，在实际应用中需要根据具体问题进行调整和优化。