设集合为{3,5,15},{1,2,3,6,12},{3,9,27,54},偏序关系为整除,画出这些集合的哈斯图,并指出哪些是全序关系
时间: 2023-09-17 17:06:26 浏览: 312
### 回答1:
首先,我们需要确定每个集合中的元素之间是否存在偏序关系。根据题目中的定义,偏序关系为整除,即 $a$ 偏小于等于 $b$ 当且仅当 $a$ 整除 $b$。
对于集合 $\{3, 5, 15\}$,我们有 $3 \mid 15$ 和 $5 \mid 15$,因此 $3$ 和 $5$ 都偏小于等于 $15$。由于没有其他的整数与 $3$ 或 $5$ 存在偏序关系,因此集合 $\{3, 5, 15\}$ 中只存在两个偏序关系:$3 \leq 15$ 和 $5 \leq 15$。
对于集合 $\{1, 2, 3, 6, 12\}$,我们有 $1 \mid 2, 1 \mid 3, 1 \mid 6, 1 \mid 12$,$2 \mid 6, 2 \mid 12$,$3 \mid 6, 3 \mid 12$ 和 $6 \mid 12$。因此,我们可以画出如下的哈斯图:
```
1
/|\
2 3 6
\/
12
```
对于集合 $\{3, 9, 27, 54\}$,我们有 $3 \mid 9, 3 \mid 27, 3 \mid 54$,$9 \mid 27, 9 \mid 54$,$27 \mid 54$。因此,我们可以画出如下的哈斯图:
```
3
/|\
9 27
\/
54
```
现在,我们可以确定哪些集合中的元素存在全序关系。如果哈斯图中每个节点都存在一个有向边,使得这些节点构成的图是一个有向无环图,那么这些节点之间存在全序关系。
因此,在上面的两个哈斯图中,只有集合 $\{1, 2, 3, 6, 12\}$ 中的元素存在全序关系,因为它们构成的哈斯图是一个有向无环图。
注意:全序关系是偏序关系的一种特殊情况,它要求集合中的任意两个元素都可以进行比较。在本题中,所有的偏序关系都是全序关系的子集,因为集合中的元素都是正整数,它们之间不存在不可比较的情况。
### 回答2:
偏序关系的定义是:如果一个集合中的元素之间存在某种特定的关系,且该关系满足自反性、反对称性和传递性,则该关系被称为偏序关系。
首先,根据整除关系,我们可以确定哈斯图的结构。集合{3,5,15}中的元素之间存在着整除关系,即3整除15,5整除15。而集合{1,2,3,6,12}中的元素之间也存在整除关系,例如1整除2,1整除3,2整除6,3整除6,6整除12。集合{3,9,27,54}中的元素之间也是整除关系,例如3整除9,3整除27,3整除54,9整除27,9整除54,27整除54。
根据集合的哈斯图的画法:首先将集合的元素表示为节点,并根据元素之间的关系用箭头连接节点。箭头的方向由整除的关系决定,即箭头从被除数指向除数。最终得到的哈斯图如下:
--> 3 --+
/ |
/ v
15 5
1 --> 2 --> 6 --> 12
^
|
3
--> 9 --+
/ |
/ v
27 54
由此可见,集合{3,5,15}的哈斯图为一条直线,没有任何相互比较的关系,所以不是全序关系;集合{1,2,3,6,12}的哈斯图是一个有向无环图,任意两个节点之间都存在比较关系,所以是全序关系;集合{3,9,27,54}的哈斯图是一个有向无环图,任意两个节点之间都存在比较关系,所以也是全序关系。
### 回答3:
哈斯图是一种用图形表示偏序关系的工具。在哈斯图中,集合的元素表示为节点,偏序关系表示为有向边。
首先,我们根据给定的偏序关系(整除关系)画出这些集合的哈斯图:
集合{3,5,15}可以表示为以下哈斯图:
3
/ \
5 15
集合{1,2,3,6,12}可以表示为以下哈斯图:
1
/ | \
2 3 6
/
12
集合{3,9,27,54}可以表示为以下哈斯图:
3
/ \
9 27
\
54
在这些集合的哈斯图中,每个节点都有指向其所有真子集的有向边。例如,在集合{1,2,3,6,12}的哈斯图中,节点1有向节点2、节点3、节点6的边,这表示1能整除2、3、6。
接下来,我们需要判断哪些集合是全序关系。在哈斯图中,全序关系表示为每两个节点之间都存在有向边。
根据给定的集合和偏序关系,我们可以看出集合{3,5,15}和集合{3,9,27,54}是全序关系。在它们的哈斯图中,任意两个节点之间都存在有向边。
而集合{1,2,3,6,12}不是全序关系,因为节点1和节点2之间不存在有向边,即1不能整除2。
综上所述,集合{3,5,15}和集合{3,9,27,54}是全序关系,集合{1,2,3,6,12}不是全序关系。
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