、设集合G={0,6,12,18,24,30},a*b=(a+b)mod36,指出<G,*>的两个非平凡子群________________,并指出其对应的陪集__________
时间: 2024-05-18 22:17:41 浏览: 11
首先,我们需要验证 $(G,*)$ 是否构成一个群。要成为群,需要满足以下四个条件:
1. 封闭性:对于任意 $a,b\in G$,$a*b\in G$。
2. 结合律:对于任意 $a,b,c\in G$,$(a*b)*c=a*(b*c)$。
3. 单位元存在性:存在一个元素 $e\in G$,对于任意 $a\in G$,$a*e=e*a=a$。
4. 逆元存在性:对于任意 $a\in G$,存在一个元素 $a^{-1}\in G$,使得 $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$。
我们可以验证 $(G,*)$ 满足以上四个条件,因此它是一个群。
接下来,我们来找出 $(G,*)$ 的两个非平凡子群以及它们的陪集。由于 $*$ 是一个加法运算,因此我们考虑 $(G,+)$ 的子群,它们也是 $(G,*)$ 的子群。
首先,$\{0, 12, 24\}$ 是 $(G,+)$ 的一个子群,也是 $(G,*)$ 的一个子群。它的陪集为:
- $0+\{0, 12, 24\}=\{0, 12, 24\}$
- $6+\{0, 12, 24\}=\{6, 18, 30\}$
其次,$\{0, 6, 12, 18, 24, 30\}$ 是 $(G,+)$ 的一个子群,也是 $(G,*)$ 的一个子群。它的陪集为:
- $0+\{0, 6, 12, 18, 24, 30\}=\{0, 6, 12, 18, 24, 30\}$
- $1+\{0, 6, 12, 18, 24, 30\}=\{1, 7, 13, 19, 25, 31\}=\{1, 7, 13, 19, 25\}$
- $2+\{0, 6, 12, 18, 24, 30\}=\{2, 8, 14, 20, 26, 32\}=\{2, 8, 14, 20, 26\}$
- $3+\{0, 6, 12, 18, 24, 30\}=\{3, 9, 15, 21, 27, 33\}=\{3, 9, 15, 21, 27\}$
- $4+\{0, 6, 12, 18, 24, 30\}=\{4, 10, 16, 22, 28, 34\}=\{4, 10, 16, 22, 28\}$
- $5+\{0, 6, 12, 18, 24, 30\}=\{5, 11, 17, 23, 29, 35\}=\{5, 11, 17, 23, 29\}$
因此,$(G,*)$ 的两个非平凡子群分别是 $\{0, 12, 24\}$ 和 $\{0, 6, 12, 18, 24, 30\}$,它们的陪集见上述计算结果。
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