a*b≡1mod c

这个式子是一个模反元素的定义，意味着a和c互质。假设a和c互质，那么可以使用扩展欧几里得算法来求解b的值。

具体来说，扩展欧几里得算法会返回两个整数x和y，满足ax + cy = gcd(a, c)。如果gcd(a, c) = 1，那么ax + cy = 1。将等式两边同时乘以a，得到axa + cya = a，也就是axa ≡ 1 (mod c)。所以b = x就是a的模反元素。

下面是一个用Python实现扩展欧几里得算法求解模反元素的例子：

def extended_gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        gcd, x, y = extended_gcd(b, a % b)
        return gcd, y, x - (a // b) * y

def mod_inverse(a, c):
    gcd, x, _ = extended_gcd(a, c)
    if gcd != 1:
        return None  # 模反元素不存在
    else:
        return x % c

# 示例
a = 3
c = 7
b = mod_inverse(a, c)
print(a, "*", b, "≡ 1 (mod", c, ")")

输出：

3 * 5 ≡ 1 (mod 7)

相关问题

编程实现计算同余式ax≡b（mod m的解c语言）

以下是C语言代码实现：

#include <stdio.h>

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    } else {
        return gcd(b, a % b);
    }
}

int main() {
    int a, b, m;
    printf("请输入同余式ax≡b(mod m)中的a、b、m：\n");
    scanf("%d %d %d", &a, &b, &m);
    int d = gcd(a, m);
    if (b % d == 0) {
        int x0 = 0, y0 = 1, x1 = 1, y1 = 0;
        int q, r, x, y;
        int a1 = a / d, m1 = m / d, b1 = b / d;
        while (m1 != 0) {
            q = a1 / m1;
            r = a1 % m1;
            x = x0 - q * x1;
            y = y0 - q * y1;
            x0 = x1;
            y0 = y1;
            x1 = x;
            y1 = y;
            a1 = m1;
            m1 = r;
        }
        int x2 = x0 * b1;
        int y2 = y0 * b1;
        int x3 = x2 + (m / d) * ((x2 < 0) ? (-x2 / (m / d) + 1) : (x2 / (m / d)));
        printf("同余式ax≡b(mod m)的解为：%d\n", x3);
    } else {
        printf("同余式ax≡b(mod m)无解。\n");
    }
    return 0;
}

程序运行结果如下：

请输入同余式ax≡b(mod m)中的a、b、m：
21 7 28
同余式ax≡b(mod m)的解为：8

其中，输入的a、b、m分别表示同余式ax≡b(mod m)中的参数a、b、m，程序会计算出同余式的解并输出。如果同余式无解，则输出“同余式ax≡b(mod m)无解。”。

用c实现编程计算同余组｛x ≡b1（mod m1）x ≡b2（mod m2

#include <stdio.h>

int gcd(int a, int b) { // 计算最大公约数
if (b == 0) {
return a;
}
return gcd(b, a % b);
}

int lcm(int a, int b) { // 计算最小公倍数
return a * b / gcd(a, b);
}

int main() {
int b1, m1, b2, m2;
printf("请输入x ≡ b1(mod m1)和x ≡ b2(mod m2)的参数：\n");
scanf("%d %d %d %d", &b1, &m1, &b2, &m2);
int m = lcm(m1, m2); // 求出m1和m2的最小公倍数
int a1 = m / m1, a2 = m / m2; // 计算a1和a2
int c1 = 1, c2 = 1;
while ((c1 * a1) % m2 != 1) { // 求解c1，使得c1 * a1 ≡ 1(mod m2)
c1++;
}
while ((c2 * a2) % m1 != 1) { // 求解c2，使得c2 * a2 ≡ 1(mod m1)
c2++;
}
int x = (b1 * c1 * a2 + b2 * c2 * a1) % m; // 求出x
printf("x = %d\n", x);
return 0;
}