a*b≡1mod c

这个式子是一个模反元素的定义，意味着a和c互质。假设a和c互质，那么可以使用扩展欧几里得算法来求解b的值。

具体来说，扩展欧几里得算法会返回两个整数x和y，满足ax + cy = gcd(a, c)。如果gcd(a, c) = 1，那么ax + cy = 1。将等式两边同时乘以a，得到axa + cya = a，也就是axa ≡ 1 (mod c)。所以b = x就是a的模反元素。

下面是一个用Python实现扩展欧几里得算法求解模反元素的例子：

def extended_gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        gcd, x, y = extended_gcd(b, a % b)
        return gcd, y, x - (a // b) * y

def mod_inverse(a, c):
    gcd, x, _ = extended_gcd(a, c)
    if gcd != 1:
        return None  # 模反元素不存在
    else:
        return x % c

# 示例
a = 3
c = 7
b = mod_inverse(a, c)
print(a, "*", b, "≡ 1 (mod", c, ")")

输出：

3 * 5 ≡ 1 (mod 7)

相关问题

C语言设p是奇素数，编程实现模p的原根g及构建指数表，并由此快速计算a*b（mod p）。

在C语言中，我们可以使用欧拉定理和扩展欧几里得算法来寻找模p的原根g以及构建指数表，这对于快速计算大整数乘法a * b (mod p)非常高效。这里是一个简化的步骤：

1. **判断是否为质数**：
- 判断p是否为质数，可以使用试除法或更高效的库函数如`isprime()`。

2. **寻找原根**：
- 如果p是质数，根据数学理论，存在一个小于p且与p互质的数g，使得对于所有a(1 <= a < p)，有a^φ(p) ≡ 1 (mod p)，其中φ(p)是欧拉函数，等于p-1。通过尝试从2到p-1，找到第一个满足条件的g即为原根。

3. **构建指数表**：
- 对于0 <= i < φ(p)，计算g^i % p并将结果存储在一个数组或向量中。这个过程称为指数循环。

4. **利用指数表快速计算**：
- 当需要计算a * b mod p时，先将a和b分别映射到他们的指数i和j（如果它们不是直接的原根幂），然后利用指数表查出g^i 和 g^j，最后计算(g^(i+j)) mod p。

以下是简化版的C代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool is_prime(int n) {
    if (n <= 1)
        return false;
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
        if (n % i == 0)
            return false;
    return true;
}

// 扩展欧几里得算法找模p逆元
int extended_euclidean(int a, int m) {
    // ... 实现代码
}

// 寻找原根并构造指数表
void find_root_and_table(int p, int* root_table, int* phi) {
    int i = 2;
    *phi = p - 1;
    while (!is_prime(i))
        i++;
    *root_table[0] = i;
    int gcd = extended_euclidean(*root_table[0], p);
    if (gcd != 1)
        printf("Error: %d is not a primitive root!\n", *root_table[0]);
    else {
        for (int j = 1; j < *phi; j++) {
            (*root_table)[j] = ((*root_table)[j - 1] * *root_table[0]) % p;
        }
    }
}

// 使用指数表计算a * b mod p
int fast_multiply(int a, int b, int p, int* root_table, int phi) {
    a %= phi;
    b %= phi;
    int result = 0;
    for (int i = 0; i < phi; i++) {
        if ((b >> i) & 1)
            result = (result + root_table[a * i]) % p;
    }
    return result;
}

int main() {
    int p, a, b;
    printf("Enter a prime number p: ");
    scanf("%d", &p);
    int root_table[p - 1];
    int phi;
    find_root_and_table(p, root_table, &phi);
    // ... 更多的输入处理和计算部分

    return 0;
}

用C语言编程实现计算同余式组x≡b1(mod m1),x≡b2(mod m2)的解

### 回答1：

#include <stdio.h>

int main() {
    int b1, b2, m1, m2, x;
    printf("请输入b1, m1, b2, m2：\n");
    scanf("%d%d%d%d", &b1, &m1, &b2, &m2);
    for (int i = 0; i < m1 * m2; i++) {
        if (i % m1 == b1 && i % m2 == b2) {
            x = i;
            break;
        }
    }
    printf("x ≡ %d (mod %d)\n", x, m1 * m2);
    return 0;
}

这个程序中，我们通过枚举x的值，找到满足同余式组的解。具体来说，我们从0开始枚举x的值，每次判断x是否同时满足两个同余式，如果满足则将其作为解并退出循环。

需要注意的是，当m1和m2不互质时，同余式组可能无解或有多个解。此时需要使用扩展欧几里得算法来求解。

### 回答2：
要用C语言编程实现计算同余式组x≡b1(mod m1),x≡b2(mod m2)的解，可以使用中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）来实现。

1. 首先，定义一个函数findCRT，该函数接受四个参数：b1、m1、b2、m2，表示两个同余式的余数和模数。
2. 在findCRT函数中，先判断m1和m2是否互质（即最大公约数是1）。若不互质，则无解；若互质，则继续执行下一步。
3. 计算m1和m2的乘积，记为M = m1 * m2。
4. 分别计算M除以m1和m2的商，记为q1 = M / m1和q2 = M / m2。
5. 计算q1关于m1的模反元素x1（即满足x1 * q1 ≡ 1 (mod m1)），可以使用扩展欧几里德算法来求解。
6. 同样地，计算q2关于m2的模反元素x2。
7. 根据中国剩余定理，x ≡ (b1 * q1 * x1 + b2 * q2 * x2) (mod M)即为同余式组的解。
8. 返回计算得到的解x。

以下是一个示例代码：

#include <stdio.h>

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a % b);
}

int findModInverse(int a, int m) {
    int m0 = m, t, q;
    int x0 = 0, x1 = 1;

    if (m == 1)
        return 0;

    while (a > 1) {
        q = a / m;
        t = m;

        m = a % m;
        a = t;

        t = x0;

        x0 = x1 - q * x0;
        x1 = t;
    }

    if (x1 < 0)
        x1 += m0;

    return x1;
}

int findCRT(int b1, int m1, int b2, int m2) {
    int M = m1 * m2;
    int q1 = M / m1;
    int q2 = M / m2;
    int x1 = findModInverse(q1, m1);
    int x2 = findModInverse(q2, m2);

    int x = (b1 * q1 * x1 + b2 * q2 * x2) % M;

    return x;
}

int main() {
    int b1, m1, b2, m2;
    printf("输入b1、m1、b2、m2的值:");
    scanf("%d %d %d %d", &b1, &m1, &b2, &m2);

    int x = findCRT(b1, m1, b2, m2);
    printf("同余式组的解为: x ≡ %d (mod %d)\n", x, m1 * m2);

    return 0;
}

以上代码中的函数gcd用于求最大公约数，函数findModInverse用于求模反元素x。在main函数中，通过用户输入获取同余式组的参数，然后调用findCRT函数计算解，并打印结果。

### 回答3：
要用C语言编程实现计算同余式组x≡b1(mod m1),x≡b2(mod m2)的解，可以使用中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）。以下是C语言的实现代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

int extendedEuclidean(int a, int b, int *x, int *y)
{
    if (a == 0)
    {
        *x = 0;
        *y = 1;
        return b;
    }

    int x1, y1;
    int gcd = extendedEuclidean(b % a, a, &x1, &y1);

    *x = y1 - (b/a) * x1;
    *y = x1;
    
    return gcd;
}

int chineseRemainder(int b1, int m1, int b2, int m2)
{
    int x, y;
    int gcd = extendedEuclidean(m1, m2, &x, &y);

    int lcm = (m1 * m2) / gcd;
    int result = (b1 * m2 * y + b2 * m1 * x) % lcm;

    return result;
}

int main()
{
    int b1, m1, b2, m2;
    printf("请输入同余式组的参数：\n");
    printf("x≡b1(mod m1)\n");
    printf("x≡b2(mod m2)\n");
    scanf("%d%d%d%d", &b1, &m1, &b2, &m2);

    int result = chineseRemainder(b1, m1, b2, m2);

    printf("同余式组的解为：x ≡ %d (mod %d)\n", result, m1 * m2);

    return 0;
}

这个程序会要求用户输入同余式组的参数b1，m1，b2，m2。然后，通过调用`chineseRemainder`函数来计算出同余式组的解，并将结果输出到屏幕上。

值得注意的是，这里的代码使用了扩展欧几里得算法来计算乘法逆元，并且假设输入的m1和m2互质。如果输入的m1和m2不互质，这个代码需要进行适当的修改。