小卡有 tt 次询问，每次给你一个数字 xx，问有多少个比 xx 小的非负整数 yy，使得 x\oplus yx⊕y 是质数，其中 \oplus⊕ 表示按位异或。

题目是说小卡需要回答一个问题，每次给你一个数字 xx，问有多少个比 xx 小的非负整数 yy，满足 x⊕yxy⊕y 是质数，其中 ⊕ 表示按位异或。

解题思路：
对于一个数 xx，如果对所有比它小的非负整数 yy，都有 x⊕yxy⊕y 不是质数，那么 xx 就是符合条件的数。

可以根据异或的性质，得到 x⊕yxy⊕y=x+y+x⊕y=x+y+(x xor y)。

因此，可以枚举 x 和 y，计算 x+y+(x xor y) 是否是质数。如果有一个 x+y+(x xor y) 是质数，那么 xx 就不符合条件。如果所有 x+y+(x xor y) 都不是质数，那么 xx 就是符合条件的数。

注意到 xx 的范围不大，只有 $10^5$，因此可以先列出所有的素数，然后对于每个 xx，枚举所有小于它的 yy，判断 x+y+(x xor y) 是否在素数列表中即可。

参考代码：

相关问题

Alice是一名网络安全技术人员。这天她得到一串加密过的序列x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1​,x2​,...,xn​。并且她知道，从原序列y加密成新序列x的加密方式是xi=yi⊕ax_i = y_i\oplus axi​=yi​⊕a，且原序列所有数的和为S。 她想请你帮忙破解这个加密序列，你需要找到一个非负的最小的a使得 xi=yi⊕ax_i = y_i\oplus axi​=yi​⊕a 且 ∑i=1nyi=S\sum_{i=1}^{n} y_i = S∑i=1n​yi​=S。⊕\oplus⊕代表二进制按位异或运算。

这道题可以使用异或性质和数学方法来解决。

首先，我们知道异或运算的性质：a ⊕ a = 0，a ⊕ 0 = a，a ⊕ b = b ⊕ a，a ⊕ b ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)。

因此，如果我们将原序列和新序列都异或一遍，得到的结果就是：

S ⊕ (a ⊕ S) ⊕ (a * x1) ⊕ (a * x2) ⊕ ... ⊕ (a * xn)

= S ⊕ (a ⊕ a) ⊕ (a * x1) ⊕ (a * x2) ⊕ ... ⊕ (a * xn)

= S ⊕ (a * x1) ⊕ (a * x2) ⊕ ... ⊕ (a * xn)

= (y1 ⊕ a) ⊕ (y2 ⊕ a) ⊕ ... ⊕ (yn ⊕ a)

= y1 ⊕ y2 ⊕ ... ⊕ yn ⊕ (a ⊕ a ⊕ ... ⊕ a)

= y1 ⊕ y2 ⊕ ... ⊕ yn

由于我们已经知道了原序列所有数的和为S，因此我们可以计算出y1 ⊕ y2 ⊕ ... ⊕ yn的值，设为T。

那么，我们只需要找到一个最小的非负整数a，使得T ⊕ (a * x1) ⊕ (a * x2) ⊕ ... ⊕ (a * xn) = 0。

这个问题可以转化成求一个线性同余方程T ≡ a * (x1 ⊕ x2 ⊕ ... ⊕ xn) (mod 2)，然后解出a的值。

因为异或运算满足结合律和交换律，所以x1 ⊕ x2 ⊕ ... ⊕ xn的值可以预处理出来，设为B。

如果B等于0，那么a可以是任意非负整数。

如果B不等于0，那么方程T ≡ a * B (mod 2)只有两种情况：有解和无解。

如果有解，那么方程的解为a = T / B。

如果无解，那么说明原序列和新序列的异或和不相等，无法破解。

综上所述，我们可以按照上述方法求解出a的值。

题目描述 给出一个正整数数组A，牛牛想知道其中有多少子数组满足:里面所有数字的乘积等于里面所有数字的异或。 一个数组的子数组指数组中非空的一段连续数字。请用go语言写出时间复杂度较低的答案

### 回答1：
思路：

考虑对于任意的区间[l,r]，假设这个区间满足条件，则有：

$A_l \oplus A_{l+1} \oplus ... \oplus A_r = A_l \times A_{l+1} \times ... \times A_r$

两边同时取对数得到：$\log_2(A_l) \oplus \log_2(A_{l+1}) \oplus ... \oplus \log_2(A_r) = \log_2(A_l) + \log_2(A_{l+1}) + ... + \log_2(A_r)$

因为异或运算的性质，所以可以得到：$\log_2(A_l) \oplus \log_2(A_{l+1}) \oplus ... \oplus \log_2(A_r) = \log_2(A_l) \oplus (\log_2(A_l) \oplus \log_2(A_{l+1})) \oplus ... \oplus (\log_2(A_{r-1}) \oplus \log_2(A_r))$

然后就可以用前缀异或和的思想来计算了。

代码实现：

### 回答2：
假设数组A的长度为n，我们可以通过计算每个位置的前缀异或值和前缀乘积来解决这个问题，时间复杂度为O(n)。

首先，我们创建两个辅助数组prefixXor和prefixMul，长度都为n。
prefixXor[i]表示数组A[0]到A[i]的异或值，prefixMul[i]表示数组A[0]到A[i]的乘积。

接下来，我们遍历数组A，计算prefixXor和prefixMul的值。
如果A[i]为0，那么prefixXor[i]和prefixMul[i]都为0。
否则，prefixXor[i] = prefixXor[i-1] ^ A[i]，prefixMul[i] = prefixMul[i-1] * A[i]。

然后，我们再次遍历数组A，计算子数组满足条件的个数。
对于每个位置i，我们需要找到在位置i之前的某个位置j(0 ≤ j < i)，使得prefixXor[i] = prefixMul[i]。

我们可以使用一个哈希表来记录每个前缀异或值出现的次数。
对于每个位置i，我们首先判断prefixXor[i]是否等于prefixMul[i]，如果是，则满足条件的子数组个数加一。
然后，我们检查哈希表中是否存在prefixXor[i]，如果存在，则将哈希表中prefixXor[i]的值加到满足条件的子数组个数上。
最后，将prefixXor[i]的出现次数加一。

最终，遍历完成后，满足条件的子数组个数就是答案。

以下是Go语言的实现代码：

func numOfSubarrays(A []int) int {
    n := len(A)
    prefixXor := make([]int, n)
    prefixMul := make([]int, n)
    prefixXor[0] = A[0]
    prefixMul[0] = A[0]
    xorCount := make(map[int]int)
    xorCount[0] = 1

    res := 0
    if A[0] == 0 {
        res++
    }

    for i := 1; i < n; i++ {
        if A[i] == 0 {
            res++
        } else {
            prefixXor[i] = prefixXor[i-1] ^ A[i]
            prefixMul[i] = prefixMul[i-1] * A[i]
        }
        res += xorCount[prefixXor[i]]
        xorCount[prefixXor[i]]++
    }

    return res
}

上述代码中，我们使用了一个哈希表xorCount来记录前缀异或值的出现次数，以便快速查找满足条件的子数组个数。整个算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

### 回答3：

题目要求找出正整数数组中有多少个子数组满足乘积等于异或。我们可以通过遍历数组的每个元素来求解。

假设数组A的长度为n，我们可以使用两个变量count和product来记录满足条件的子数组数量和对应的乘积。首先，将count和product初始化为0，遍历数组A中的每个元素num，对于每个元素，更新count和product的值。

对于当前元素num，如果num等于0，则满足条件的子数组数量需要加上count*（count+1）/2，然后将count重新设为0并将product设为1。这是因为对于元素为0的子数组，其乘积为0，和为0，所以需要将之前的子数组数量加上，并重新开始计数。

否则，如果num不等于0，则将product乘上num，然后判断product是否等于num的异或值。如果相等，则满足条件的子数组数量需要加上count的值。这是因为对于满足乘积等于异或的子数组，其中的元素可以随意排列，只要元素的个数(count)相同，就可以构成不同的子数组。

最后返回count的值即为满足条件的子数组数量。

下面是用Go语言实现的代码：

package main

import "fmt"

func main() {
    A := []int{1, 2, 3}
    count := 0
    product := 1

    for _, num := range A {
        if num == 0 {
            count += count * (count + 1) / 2
            count = 0
            product = 1
        } else {
            product *= num
            if product == num^(count+1) {
                count++
            }
        }
    }

    count += count * (count + 1) / 2

    fmt.Println(count)
}

这段代码的时间复杂度为O(n)，其中n为数组A的长度。通过遍历数组A中的每个元素，我们可以找出满足条件的子数组数量，并输出结果。