动态规划 地下城游戏

地下城游戏是一道经典的动态规划问题。下面是动态规划的解法：

假设地下城的大小为 m 行 n 列，dungeon[i][j] 表示第 i 行第 j 列的房间格子里的数字。我们定义 dp[i][j] 表示从 (i,j) 出发到终点所需要的最小初始值。则对于最后一行和最后一列，我们可以得到：

1. 对于最后一行，有 dp[m-1][j] = max(dp[m-1][j+1] - dungeon[m-1][j], 1)
2. 对于最后一列，有 dp[i][n-1] = max(dp[i+1][n-1] - dungeon[i][n-1], 1)

其中 max 函数表示取两个数中的较大值，1 表示勇士至少需要 1 点生命值。接下来我们考虑其他位置的 dp 值，根据题目的要求，我们要找到一条从起点到终点的路径，使得这条路径上的 dp 值最小。因此，我们可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = max(min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) - dungeon[i][j], 1)

其中 min 函数表示取两个数中的较小值，max 函数表示取两个数中的较大值，1 表示勇士至少需要 1 点生命值。最终的答案即为 dp[0][0]。

需要注意的是，由于状态转移方程中需要用到 dp[i+1][j] 和 dp[i][j+1]，因此我们需要从右下角往左上角逐个计算 dp 值，确保在计算 dp[i][j] 时已经计算出 dp[i+1][j] 和 dp[i][j+1]。

此外，还需要注意的是，起点的 dp 值需要满足 dp[m-1][n-1] - dungeon[0][0] >= 1，因为勇士至少需要 1 点生命值。如果起点的 dp 值小于 1，我们需要将其调整为 1。