Laxfriedrichs格式与LaxWendroff格式求解双曲型偏微分方程例题matlab程序

由于不知道您具体要求的偏微分方程，下面以一维线性对流方程为例，演示Lax-Friedrichs格式和Lax-Wendroff格式的求解方法。

一、Lax-Friedrichs格式

偏微分方程为：

$$u_t+au_x=0$$

其中，$a$为常数。

离散化方法：

$$\frac{u_i^{n+1}-\frac{1}{2}(u_{i+1}^n+u_{i-1}^n)}{\Delta t}+a\frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2\Delta x}=0$$

整理可得：

$$u_i^{n+1}=\frac{1}{2}(u_{i+1}^n+u_{i-1}^n)-\frac{a\Delta t}{2\Delta x}(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n)$$

matlab程序如下：

clc;
clear;

a=1; % 常数a
L=1; % 区间长度
T=1; % 时间长度
dx=0.01; % 空间步长
dt=0.001; % 时间步长
x=0:dx:L; % 空间网格
t=0:dt:T; % 时间网格
n=length(t); % 时间步数
m=length(x); % 空间步数
u=zeros(m,n); % 初始化解向量

% 边界条件
u(1,:)=0;
u(m,:)=0;
% 初始条件
u(:,1)=exp(-100*(x-0.5).^2);

% Lax-Friedrichs格式求解
for i=2:m-1
u(i,2)=(u(i+1,1)+u(i-1,1))/2-a*dt/(2*dx)*(u(i+1,1)-u(i-1,1));
end
for j=2:n-1
for i=2:m-1
u(i,j+1)=(u(i+1,j)+u(i-1,j))/2-a*dt/(2*dx)*(u(i+1,j)-u(i-1,j));
end
end

% 画图
[X,T]=meshgrid(x,t);
surf(X,T,u');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');

二、Lax-Wendroff格式

偏微分方程同上。

离散化方法：

$$u_i^{n+1}=u_i^n-\frac{a\Delta t}{2\Delta x}(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n)+\frac{a^2\Delta t^2}{2\Delta x^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$$

matlab程序如下：

clc;
clear;

a=1; % 常数a
L=1; % 区间长度
T=1; % 时间长度
dx=0.01; % 空间步长
dt=0.001; % 时间步长
x=0:dx:L; % 空间网格
t=0:dt:T; % 时间网格
n=length(t); % 时间步数
m=length(x); % 空间步数
u=zeros(m,n); % 初始化解向量

% 边界条件
u(1,:)=0;
u(m,:)=0;
% 初始条件
u(:,1)=exp(-100*(x-0.5).^2);

% Lax-Wendroff格式求解
for i=2:m-1
u(i,2)=u(i,1)-a*dt/(2*dx)*(u(i+1,1)-u(i-1,1))+a^2*dt^2/(2*dx^2)*(u(i+1,1)-2*u(i,1)+u(i-1,1));
end
for j=2:n-1
for i=2:m-1
u(i,j+1)=u(i,j)-a*dt/(2*dx)*(u(i+1,j)-u(i-1,j))+a^2*dt^2/(2*dx^2)*(u(i+1,j)-2*u(i,j)+u(i-1,j));
end
end

% 画图
[X,T]=meshgrid(x,t);
surf(X,T,u');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');

以上程序可以直接复制到matlab中执行，可以得到解的三维图像。需要注意的是，由于这两种格式的数值稳定性不同，所以在选择时间步长和空间步长时需要注意，以免出现数值不稳定的情况。