如何将一般正态分布变为标准正态分布
时间: 2023-10-23 19:41:30 浏览: 131
要将一般正态分布变为标准正态分布,需要进行标准化处理。标准化处理的方法是将每个随机变量减去该分布的均值,然后除以该分布的标准差。具体步骤如下:
1. 假设有一个一般正态分布的随机变量X,其均值为μ,标准差为σ。
2. 定义一个新的随机变量Z,它表示X与X的均值之间的差值除以标准差。即,Z = (X - μ) / σ。
3. Z 的分布称为标准正态分布,具有均值为0,标准差为1。
因此,如果要将一般正态分布变为标准正态分布,只需要将每个随机变量进行标准化处理即可。
相关问题
证明正态分布经过z变换之后变成了标准正态分布
根据z变换的定义,对于一个连续随机变量X,其z变换为:
$$Z_X(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f_X(t)dt$$
其中,$f_X(t)$为X的概率密度函数。
对于正态分布,其概率密度函数为:
$$f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
将其代入z变换中:
$$\begin{aligned} Z_X(s) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt \\ &= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt \end{aligned}$$
将指数项中的二次项改写为完全平方:
$$\begin{aligned} st+\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} &= \frac{1}{2\sigma^2}(2\sigma^2s+(x-\mu)^2) \\ &= \frac{1}{2\sigma^2}((x-\mu)^2+2\sigma^2s) \end{aligned}$$
将上式代入z变换式中:
$$Z_X(s) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}((x-\mu)^2+2\sigma^2s)}dt$$
将指数项中的二次项改写为完全平方:
$$\begin{aligned} \frac{1}{2\sigma^2}((x-\mu)^2+2\sigma^2s) &= \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+s \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 + s - \frac{1}{2}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)^2 \end{aligned}$$
将上式代入z变换式中:
$$Z_X(s) = e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)^2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}e^{s\sigma^2}dt$$
上式中的积分项为标准正态分布的概率密度函数,即:
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt = 1$$
因此:
$$Z_X(s) = e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)^2}e^{s\sigma^2}$$
上式中的指数项为标准正态分布的z变换形式。因此,正态分布经过z变换之后变成了标准正态分布。
matlab实现利用高斯Copula函数将独立的标准正态变为相关的正态分布
在Matlab中,可以使用copulafit和copularnd函数实现利用高斯Copula函数将独立的标准正态变为相关的正态分布。
具体步骤如下:
1. 生成独立的标准正态分布随机变量。可以使用Matlab中的randn函数实现。
2. 指定相关系数矩阵。相关系数矩阵可以通过定义相关系数矩阵或者协方差矩阵来获得。在这里我们假设有两个随机变量,它们的相关系数为0.5。
3. 将相关系数矩阵转化为高斯Copula函数的参数。可以使用Matlab中的copulaparam函数实现。
4. 使用copulafit函数拟合高斯Copula函数,并将独立的标准正态分布随机变量转化为相关的正态分布随机变量。
5. 使用copularnd函数生成相关的正态分布随机变量。
下面是一个简单的示例代码:
```matlab
% 生成两个独立的标准正态分布随机变量
x = randn(1000,1);
y = randn(1000,1);
% 指定相关系数矩阵
rho = 0.5;
sigma = [1 rho; rho 1];
% 将相关系数矩阵转化为高斯Copula函数的参数
theta = copulaparam('Gaussian',sigma);
% 使用copulafit函数拟合高斯Copula函数,并将独立的标准正态分布随机变量转化为相关的正态分布随机变量
u = copularnd('Gaussian',theta,1000);
% 将转化后的随机变量绘制成散点图
scatter(u(:,1),u(:,2),'filled')
```
运行上述代码后可以得到转化后的随机变量的散点图,其中两个变量之间的相关系数为0.5。