线性系统Ax=b，给b一个扰动，当n变大时，结果有较大差异，举例说明

假设我们有一个线性系统Ax=b，其中A是一个n×n的方阵，b是一个n维列向量。现在我们给b加上一个扰动，即将b变为b+δb，其中δb是一个n维列向量，表示扰动的大小和方向。

如果我们解原始的线性系统Ax=b，得到的解为x，那么解扰动后的线性系统Ax=(b+δb)的解为x+δx，其中δx是一个n维列向量，表示扰动所导致的解的变化量。这个变化量可以通过计算得到：

δx = A^(-1)δb

其中A^(-1)是A的逆矩阵。

当n变得很大时，由于矩阵求逆的计算复杂度为O(n^3)，因此计算A的逆矩阵会变得非常耗时。此外，由于计算机在存储浮点数时存在精度问题，当n很大时，计算A的逆矩阵可能会导致数值不稳定，从而导致扰动后的解x+δx与原始解x之间出现较大的差异。

例如，假设我们有一个1000×1000的线性系统Ax=b，其中A是一个对角矩阵，对角线元素为1、2、3、...、1000，b是一个1000维列向量，所有元素都为1。现在我们给b加上一个扰动，其中δb是一个1000维列向量，所有元素都为0.1。我们计算原始的线性系统Ax=b的解x，然后计算扰动后的线性系统Ax=(b+δb)的解x+δx，其中δx=A^(-1)δb。通过比较x和x+δx，我们可以发现它们之间的差异非常小，几乎可以忽略不计。但是，如果我们将n增加到10000或更大，那么由于计算A的逆矩阵的数值不稳定性，就可能会导致x+δx与x之间出现较大的差异。