如何用辅助方程Riccati求解非线性薛定谔方程，并用mathematica求出解

对于非线性薛定谔方程，我们可以采用辅助方程Riccati方法来求解。具体步骤如下：

1. 将给定的非线性薛定谔方程转化为Riccati方程，即令：

$$\psi(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$$

其中，$u(x)$是一个待求函数，$\psi(x)$是一个已知函数。

2. 将上式代入非线性薛定谔方程中，得到一个二阶常微分方程：

$$u''(x)+((E-V(x))+\psi^2(x))u(x)=0$$

其中，$E$是一个常数，$V(x)$是势函数。

3. 通过变量代换，将上式化为一个特殊的Riccati方程：

$$u'(x)=-\psi(x)u(x)+\alpha(x)u^2(x)$$

其中，$\alpha(x)$是一个待求函数。

4. 求解上述Riccati方程，得到$u(x)$。

5. 最后，将求得的$u(x)$代入第一个式子中，得到非线性薛定谔方程的通解。

以上步骤可以用mathematica来实现。具体操作如下：

1. 定义势函数$V(x)$和常数$E$：

V[x_]:=x^2/2;
E:=1/2;

2. 定义已知函数$\psi(x)$：

psi[x_]:=Sqrt[E-V[x]];

3. 将$\psi(x)$代入Riccati方程中，并用DSolve求解：

sol=DSolve[u'[x]==-psi[x]u[x]+alpha[x]u[x]^2,u[x],x];

得到的$u(x)$即为第三步中的待求函数。

4. 将求得的$u(x)$代入第一个式子中，得到非线性薛定谔方程的通解：

psi0=psi[x]/.x->0;
sol2=Simplify[u[x]/.sol][[1]];
sol3=FunctionExpand[psi[x]/Sqrt[1-sol2/Sqrt[E-V[x]]]];

至此，我们用辅助方程Riccati方法求解了非线性薛定谔方程，并用mathematica求出了解。