A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集证明

要证明A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集，需要证明以下两个命题：

1. 若A和B的笛卡尔积为空集，则A为空集或者B为空集；
2. 若A为空集或者B为空集，则A和B的笛卡尔积为空集。

证明第一个命题：

假设A和B的笛卡尔积为空集，那么对于A中的任意一个元素a和B中的任意一个元素b，都不满足(a,b)属于A和B的笛卡尔积。因此，对于A中的任意一个元素a，都不存在B中的任意一个元素b，使得(a,b)属于A和B的笛卡尔积。因此，A为空集。

同理，对于B中的任意一个元素b，都不存在A中的任意一个元素a，使得(a,b)属于A和B的笛卡尔积。因此，B为空集。

因此，A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集。

证明第二个命题：

假设A为空集，那么A和B的笛卡尔积为空集，因为对于A中的任意一个元素a，都不存在B中的任意一个元素b，使得(a,b)属于A和B的笛卡尔积。

同理，若B为空集，那么A和B的笛卡尔积为空集。

因此，A为空集或者B为空集等价于A和B的笛卡尔积为空集。

综上所述，A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集。