逻辑回归算法的数学原理底层实现编写

逻辑回归算法的数学原理是基于概率模型的分类算法，其底层实现通常使用梯度下降等优化算法来求解模型参数。具体步骤如下：

1. 定义逻辑回归模型

逻辑回归模型是一个条件概率分布，其表示输入特征x给定条件下，输出y为1的概率：

$$P(y=1|x,w)=\frac{1}{1+e^{-wx}}$$

其中，w为模型参数，x为输入特征。

2. 定义损失函数

逻辑回归模型的损失函数通常选择交叉熵损失函数，其表示模型预测值与真实标签之间的差异：

$$L(w)=-\sum_{i=1}^{N}[y_i\log P(y_i=1|x_i,w)+(1-y_i)\log(1-P(y_i=1|x_i,w))]$$

其中，N为样本数，yi为第i个样本的真实标签，xi为第i个样本的输入特征。

3. 求解模型参数

为了最小化损失函数，需要使用优化算法来求解模型参数。常见的优化算法包括梯度下降、随机梯度下降等。这里以梯度下降算法为例，其更新过程如下：

$$w_j=w_j-\alpha\frac{\partial L(w)}{\partial w_j}$$

其中，α为学习率，∂L(w)/∂wj为损失函数对模型参数wj的偏导数。根据链式法则，可得到：

$$\frac{\partial L(w)}{\partial w_j}=\sum_{i=1}^{N}(P(y_i=1|x_i,w)-y_i)x_{ij}$$

将上式带入梯度下降更新公式，可得到：

$$w_j=w_j-\alpha\sum_{i=1}^{N}(P(y_i=1|x_i,w)-y_i)x_{ij}$$

最终，通过多次迭代，不断更新模型参数，使得损失函数最小化，从而得到最优的逻辑回归模型。

4. 应用模型进行预测

得到最优的逻辑回归模型后，就可以用来进行分类预测。对于一个新的样本x，通过模型预测其为正例的概率为：

$$P(y=1|x,w)=\frac{1}{1+e^{-wx}}$$

如果该概率大于阈值，就将其预测为正例，反之则预测为负例。通常将阈值设为0.5。