求两个自然数，其和是667，最小公倍数与最大公约数之比为120：1

设这两个自然数为x和y，则有以下方程组：

x + y = 667 （1）

LCM(x,y) / GCD(x,y) = 120 ：1 （2）

根据最小公倍数和最大公约数的定义，我们可以将它们表示为：

LCM(x,y) = x * y / GCD(x,y)

将式（2）代入上式，得到：

x * y / 120 = GCD(x,y)

将上式代入式（1），得到：

x + y = 667

x * y / 120 + GCD(x,y) = 667

设GCD(x,y) = d，则有：

x = da，y = db，其中a和b互质

代入上式，得到：

da * db / 120 + d = 667

ab * d^2 / 120 + d = 667

将d看作未知数，上式为一个关于d的二次方程，解得：

d = 10 或 d = 60

当d = 10时，代入式（1）得到：

x + y = 667，x * y / 10 + 10 = 667

解得x = 37，y = 630

当d = 60时，代入式（1）得到：

x + y = 667，x * y / 60 + 60 = 667

解得x = 180，y = 487

因此，满足条件的两个自然数为37和630，或者180和487。

相关问题

求两个自然数，其和是667，最小公倍数与最大公约数之比为120：1。

设两个自然数为x和y，则有以下方程组：

x + y = 667

LCM(x,y)/GCD(x,y) = 120/1

由于LCM(x,y) = x*y/GCD(x,y)，将第二个方程式化简可得：

x*y/(120*GCD(x,y)) = GCD(x,y)

将第一个方程式代入上式，得到：

x*y/(120*(667-x)) = 667/(120+1)

化简后可得：

x*y = 223080

由于x和y是自然数，因此它们的乘积只能是以下几种情况之一：

1*223080, 2*111540, 3*74360, 4*55770, 5*44616, 6*37180, 7*31868, 8*27885, 9*24787, 10*22308, 12*18590, 15*14872, 18*12360, 20*11154, 24*9295, 30*7436, 36*6180, 40*5577, 45*4957, 60*3718, 72*5145, 90*2478, 120*1859, 180*1236, 360*618

由于x和y的和为667，因此只有以下几种情况符合要求：

x=120, y=1847

x=1859, y=208

因此，满足条件的两个自然数为120和547，或者1859和(667-1859)=208。

求两个自然数，其和是667，最小公倍数与最大公约数之比为120：1；

设两个自然数分别为a和b，则有以下方程组：

a + b = 667

lcm(a, b) / gcd(a, b) = 120 / 1

根据最小公倍数和最大公约数的定义，可以将方程组转化为：

a * b / gcd(a, b) = 120 * gcd(a, b)

a + b = 667

由于120和667互质，所以gcd(a, b)必须是120的因数。设gcd(a, b) = k * 120，则有：

a * b / k = 120 * k * 120

a + b = 667

将第一个方程式中的a + b代入第二个方程式中，得到：

a * b / k = 120 * k * 120 - (a + b) * k * 120 + k^2 * 120^2

化简后得到：

a * b = 120^3 * k^2 - 120^2 * k * (a + b) + k * (a + b)^2

代入a + b = 667，得到：

a * b = 120^3 * k^2 - 120^2 * k * 667 + k * 667^2

因为a和b是自然数，所以它们的乘积a * b必须大于。因此，上式右边的值必须大于，即：

120^3 * k^2 - 120^2 * k * 667 + k * 667^2 >

解得：

k > 222.333

因为k必须是120的因数，所以k只能是240或360。代入原方程组，得到：

当k = 240时，a = 240, b = 427

当k = 360时，a = 360, b = 307

因此，满足条件的两个自然数为240和427，或者360和307。