计算以(30,0),(60,10),(80,30),(90,60),(90,90)为控制顶点的四次 Bezier 曲线在t = 1/4 处的值，并画出de Casteljau三角形

根据四次Bezier曲线的定义，其参数方程为:

$B(t)=(1-t)^4P_0+4t(1-t)^3P_1+6t^2(1-t)^2P_2+4t^3(1-t)P_3+t^4P_4$

其中，$P_0=(30,0)$，$P_1=(60,10)$，$P_2=(80,30)$，$P_3=(90,60)$，$P_4=(90,90)$。

当$t=1/4$时，代入计算可得：

$B(1/4)=(1-1/4)^4\cdot30+4\cdot1/4(1-1/4)^3\cdot60+6\cdot(1/4)^2(1-1/4)^2\cdot80+4\cdot(1/4)^3(1-1/4)\cdot90+(1/4)^4\cdot90= (47.578, 21.484)$

接下来，我们可以通过de Casteljau算法绘制Bezier曲线的控制多边形和对应的三角形，具体步骤如下：

1. 将控制点两两相连，得到四条线段，得到一条三角形。

2. 在每条线段上，取$t=1/4$的点，得到两个新的点。

3. 将新的点两两相连，得到三条线段，得到一个新的三角形。

4. 在新的三条线段上，取$t=1/4$的点，得到一个新的点。

5. 新的点即为Bezier曲线在$t=1/4$处的值。

绘制出来的de Casteljau三角形如下所示：


相关问题

用de Boor算法求以(30,0)，(60,10)，(80,30)，(90,60)，(90,90)为控制顶点,以T(0，0，0，0，0.5，1，1，1，1)为节点向量的三次B样条曲线在仁1/4处的值。

首先，我们需要将控制顶点转换为齐次坐标表示：

$P_0 = (30,0) \rightarrow \mathbf{P}_0 = \begin{bmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$P_1 = (60,10) \rightarrow \mathbf{P}_1 = \begin{bmatrix} 60 \\ 10 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$P_2 = (80,30) \rightarrow \mathbf{P}_2 = \begin{bmatrix} 80 \\ 30 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$P_3 = (90,60) \rightarrow \mathbf{P}_3 = \begin{bmatrix} 90 \\ 60 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$P_4 = (90,90) \rightarrow \mathbf{P}_4 = \begin{bmatrix} 90 \\ 90 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

接下来，我们需要计算每个节点的基函数值：

$N_{i,0}(t) = \begin{cases} 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{if } t_i \leq t < t_{i+1}\\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{otherwise} \end{cases}$

$N_{i,k}(t) = \frac{t - t_i}{t_{i+k} - t_i} N_{i,k-1}(t) + \frac{t_{i+k+1} - t}{t_{i+k+1} - t_{i+1}} N_{i+1,k-1}(t)$

其中，$k$ 是基函数的次数。

根据节点向量 $T$，我们可以得到 $t_0 = t_1 = t_2 = t_3 = 0$，$t_4 = 0.5$，$t_5 = t_6 = t_7 = t_8 = 1$。

因此，我们可以计算出基函数的值：

$N_{0,3}(t) = (1-t)^3$

$N_{1,3}(t) = 3t(1-t)^2$

$N_{2,3}(t) = 3t^2(1-t)$

$N_{3,3}(t) = t^3$

现在，我们可以计算曲线在参数值 $t=0.25$ 处的值：

$C(0.25) = \sum_{i=0}^4 N_{i,3}(0.25) \mathbf{P}_i$

$= N_{0,3}(0.25) \mathbf{P}_0 + N_{1,3}(0.25) \mathbf{P}_1 + N_{2,3}(0.25) \mathbf{P}_2 + N_{3,3}(0.25) \mathbf{P}_3 + N_{4,3}(0.25) \mathbf{P}_4$

$= 0.421875 \begin{bmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + 0.421875 \begin{bmatrix} 60 \\ 10 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + 0.140625 \begin{bmatrix} 80 \\ 30 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + 0.015625 \begin{bmatrix} 90 \\ 60 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 90 \\ 90 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 49.21875 \\ 6.640625 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

因此，曲线在仁1/4处的值为 $(49.21875, 6.640625)$。

x=[0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100] y1=[0,10,20,30,40,50,60,71,81,91,101] 通过matlab来计算这组数据的回程误差，重复性误差和线性度，并将此数据的曲线图绘制出来代码

在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数来进行线性拟合，然后通过一些数学公式计算回程误差、重复性误差和线性度。首先，我们需要对数据点进行排序并计算线性回归：

% 给定数据
x = [0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100];
y1 = [0,10,20,30,40,50,60,71,81,91,101];

% 对数据排序
[x_sorted, idx] = sort(x);
y1_sorted = y1(idx);

% 线性拟合
p = polyfit(x_sorted, y1_sorted, 1); % 拟合一次多项式

% 计算线性度（斜率）
linear_coefficient = p(1);
linearity = abs(linear_coefficient - 1) * 100; % 线性度百分比

% 计算回程误差（每个点的残差）
residuals = y1_sorted - polyval(p, x_sorted);

% 计算平均回程误差
mean_residual = mean(residuals);

% 计算重复性误差（最大值减去最小值）
repeatability = max(residuals) - min(residuals);

% 绘制散点图和直线
scatter(x, y1, 'filled');
hold on;
plot(x_sorted, polyval(p, x_sorted), 'r', 'LineWidth', 2);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title(['Linearity: ', num2str(linearity, '%') '%%', ...
       '\nMean Residual: ', num2str(mean_residual), ...
       '\nRepeatability Error: ', num2str(repeatability)]);
legend('Data', 'Linear Fit');

% 关闭多余图形
hold off;

上述代码会生成一个包含原始数据点的散点图以及线性拟合后的直线，同时还会在标题中显示线性度、平均回程误差和重复性误差的数值。