小民同学写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。

这是一个经典的错排问题。

设将第i封信装错的情形为Ai，则共有n种不同的情形。显然，所有信都被装错，当且仅当每一封信都被装到了一封与其编号不同的信封里，即要求每个Ai中的元素都不等于i本身。

考虑计算所有的情形中，符合要求的情形数T。根据容斥原理，有：

$T = n! - \binom{n}{1}(n-1)! + \binom{n}{2}(n-2)! - \binom{n}{3}(n-3)! + \cdots + (-1)^n\binom{n}{n}(0)!$

其中，$\binom{n}{k}$表示从n个元素中选择k个元素的组合数，$(n-k)!$表示剩下的n-k个元素的全排列数，最后一项为0，因为没有元素可选择。

将上面的式子化简，得到：

$T = \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i}(n-i)!$

这是一个经典的错排公式，也被称为第二类斯特林数定理，记作$!n$：

$!n = \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i}(n-i)!$

所以，所有的信都装错信封，共有$!n$种不同情况。

相关问题

小民同学写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。用c++语言写出程序

解题思路：
根据错排公式，对于n个元素的错排，有D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))，其中D(0)=1, D(1)=0
对于本题，n封信和n个信封一一对应，因此可以直接套用错排公式即可。

代码如下：

#include <stdio.h>

int main()
{
    int n;
    printf("请输入信封数量：");
    scanf("%d", &n);

    int dp[100];
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 0;

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = (i - 1) * (dp[i-1] + dp[i-2]);
    }

    printf("所有的信都装错信封共有 %d 种不同情况。\n", dp[n]);

    return 0;
}

运行结果：

请输入信封数量：3
所有的信都装错信封共有 2 种不同情况。

小民同学所在的班级有n名同学，这n名同学的姓名都是由小写英文字母组成的，这些同学的姓名中包含空格。现在小民想知道这n名同学的姓名中a-z哪个英文字母出现最多，其出现次数是多少？

可以通过遍历每个同学的姓名，统计每个英文字母出现的次数，最后找出出现次数最多的字母即可。具体步骤如下：

1. 定义一个长度为26的数组，用来存储每个英文字母出现的次数，初始值都为。

2. 遍历每个同学的姓名，对于每个字符，判断是否为小写英文字母，如果是，则将对应的数组元素加1。

3. 遍历数组，找出出现次数最多的字母及其出现次数。

4. 输出结果。

代码示例：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n; // 输入同学的数量

    int cnt[26] = {}; // 存储每个字母出现的次数

    for (int i = ; i < n; i++) {
        string name;
        getline(cin, name); // 输入同学的姓名，包含空格
        for (int j = ; j < name.length(); j++) {
            if (name[j] >= 'a' && name[j] <= 'z') {
                cnt[name[j] - 'a']++; // 对应字母出现次数加1
            }
        }
    }

    int max_cnt = ; // 出现次数最多的字母的出现次数
    char max_char; // 出现次数最多的字母

    for (int i = ; i < 26; i++) {
        if (cnt[i] > max_cnt) {
            max_cnt = cnt[i];
            max_char = 'a' + i;
        }
    }

    cout << max_char << " " << max_cnt << endl; // 输出结果

    return ;
}