建立X是p元标准正态分布,Y是0,1,回归系数b是(1,2,3…p的参数最大似然估计优化模型Porbit模型的具体表达式
时间: 2023-10-07 19:09:45 浏览: 156
正态分布下的最大似然估计_正态分布的最大似然估计_
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Porbit模型是指二分类问题的逻辑回归模型,其数学表达式为:
$$P(Y=1|X)=\frac{1}{1+e^{-\sum_{j=1}^p b_j X_j}}$$
其中,$X_j$表示第$j$个自变量,$b_j$表示对应的回归系数,$Y$表示二分类变量,$P(Y=1|X)$表示在给定自变量$X$的条件下,$Y$取值为1的概率。
根据题意,$X$是$p$元标准正态分布,即$X_j$服从均值为0,方差为1的正态分布。因此,我们可以得到$X_j$的概率密度函数为:
$$f(x_j)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_j^2}{2}}$$
接下来,我们需要利用最大似然估计方法来求解模型的参数$b$。假设我们有$n$个样本$(X_i, Y_i)$,其中$Y_i$取值为0或1,$X_i$为$p$维向量,表示第$i$个样本的自变量。根据最大似然估计的原理,我们需要找到一组参数$b$,使得样本的似然函数最大。
对于一个样本$(X_i, Y_i)$,其似然函数为:
$$L_i(b)=P(Y_i|X_i;b)=\begin{cases}
1-P(Y_i=0|X_i;b) & Y_i=1 \\
P(Y_i=0|X_i;b) & Y_i=0
\end{cases}$$
其中,$P(Y_i=0|X_i;b)=1-P(Y_i=1|X_i;b)$。将Porbit模型代入上式中,得到:
$$L_i(b)=\begin{cases}
\frac{1}{1+e^{-\sum_{j=1}^p b_j X_{ij}}} & Y_i=1 \\
1-\frac{1}{1+e^{-\sum_{j=1}^p b_j X_{ij}}} & Y_i=0
\end{cases}$$
将所有样本的似然函数乘积作为目标函数,即:
$$L(b)=\prod_{i=1}^n L_i(b)$$
我们需要通过优化目标函数$L(b)$来求解$b$的最大似然估计值。这里可以采用梯度下降等优化算法来求解。
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