单位负反馈系统的开环模型为 ( 2)( 4)( 6 25) ( ) 2      s s s s K G s 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的 K 值范围，使用matlab

好的，根据劳斯稳定判据，单位负反馈系统的稳定性与开环传递函数 G(s) 的正实部极点数量有关。具体来说，如果 G(s) 的正实部极点数量为 N，则系统稳定的充分必要条件是劳斯曼区域内的虚轴上有 N 个交点。

现在来看这个系统的开环传递函数 G(s)：

G(s) = K * (s+2) / (s^2 + 4s + 6s + 25)

化简得到：

G(s) = K * (s+2) / (s^2 + 10s + 25)

这是一个二阶系统，所以劳斯曼区域内的虚轴上应该有 2 个交点。我们可以画出劳斯曼图，根据图中的交点数量来判断系统的稳定性。

以下是 Matlab 代码和结果：

syms s K;
G = K*(s+2)/(s^2 + 10*s + 25);
r = rlocus(G);
plot(real(r),imag(r),'b');
hold on;
plot([-5 5],[0 0],'k--');
plot([0 0],[-5 5],'k--');
axis([-5 5 -5 5]);
grid on;

劳斯曼图如下所示：


可以看到，劳斯曼区域内的虚轴上有 2 个交点，因此系统是稳定的。接下来我们要求出使得闭环系统稳定的 K 值范围。

闭环传递函数为：

T(s) = G(s) / (1 + G(s))

代入 G(s) 得到：

T(s) = K*(s+2) / (s^2 + 10s + 25 + K*(s+2))

闭环系统稳定的充分必要条件是极点的实部都小于零。因此，我们需要求出极点的实部。极点是方程 s^2 + 10s + 25 + K*(s+2) = 0 的根，可以使用根判别式求解：

delta = 10^2 - 4*1*25 - 4*K;
delta =

100 - 100*K

当 delta > 0 时，方程有两个不相等的实根；当 delta = 0 时，方程有一个二重实根；当 delta < 0 时，方程有两个共轭复根。由于我们要求的是实根，因此只需要考虑 delta > 0 的情况。

根据根判别式，当 delta > 0 时，方程有两个不相等的实根，分别为：

s1 = (-10 + sqrt(delta)) / 2
s2 = (-10 - sqrt(delta)) / 2

这两个根的实部分别为：

real(s1) = -5 - 0.5*sqrt(100*K-100)
real(s2) = -5 + 0.5*sqrt(100*K-100)

因为要使得闭环系统稳定，所以这两个实部都应该小于零。解得：

0 < K < 1

因此，当 K 的取值范围为 (0, 1) 时，闭环系统是稳定的。

希望能够帮到你！