系统性的叙述机器学习线性回归实验中，从提出代价函数到梯度下降，再到多元性回归等阶段的理论基础，包括用到的理论知识，公示推导和参数定义等

线性回归是一种经典的机器学习算法，它可以用来预测一个连续的输出变量，假设输出变量 $y$ 和输入变量 $x$ 之间存在线性关系，我们可以用线性回归模型来拟合这个关系。线性回归模型的形式如下：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_p x_p + \epsilon$$

其中 $\beta_0, \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_p$ 是模型的系数，$x_1, x_2, \dots, x_p$ 是输入变量，$\epsilon$ 是误差项。

线性回归模型的目标是找到一组系数 $\beta_0, \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_p$，使得模型的预测值 $\hat{y}$ 与实际值 $y$ 之间的误差最小。误差可以用代价函数来衡量，线性回归中常用的代价函数是均方误差（MSE）：

$$J(\beta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (\hat{y}_i - y_i)^2$$

其中 $m$ 是样本数量，$\hat{y}_i$ 是模型对第 $i$ 个样本的预测值，$y_i$ 是实际值。

我们的目标是最小化代价函数 $J(\beta)$，可以使用梯度下降算法来实现。梯度下降算法的思想是通过沿着代价函数的负梯度方向迭代更新系数，直到达到最小值。线性回归模型的系数可以通过以下公式来更新：

$$\beta_j := \beta_j - \alpha \frac{\partial J(\beta)}{\partial \beta_j}$$

其中 $\alpha$ 是学习率，是一个超参数，用于控制梯度下降的步长。$\frac{\partial J(\beta)}{\partial \beta_j}$ 是代价函数 $J(\beta)$ 对系数 $\beta_j$ 的偏导数：

$$\frac{\partial J(\beta)}{\partial \beta_j} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (\hat{y}_i - y_i) x_{ij}$$

其中 $x_{ij}$ 是第 $i$ 个样本的第 $j$ 个特征值。

多元线性回归模型与简单线性回归模型的区别在于，多元线性回归模型可以处理多个输入变量，其模型形式为：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_p x_p + \epsilon$$

其中 $p$ 是输入变量的数量。

多元线性回归模型的代价函数和梯度下降算法与简单线性回归模型类似，只是需要针对多个系数进行更新。