求解微分方程：m*dv/dt=mg-k*v^2,v(0)=0

首先将微分方程化简为标准形式：

m dv/dt = mg - k v^2

将右侧的常数项移到左侧，得到：

m dv/dt + k v^2 = mg

这是一个一阶非齐次常微分方程，可以使用变量分离法求解。

首先将方程写成以下形式：

dv / (mg - k v^2) = dt / m

然后对两边同时进行积分：

∫ dv / (mg - k v^2) = ∫ dt / m

接下来需要进行一些代数变换：

令 u = v / sqrt(mg/k)，则 dv = sqrt(mg/k) du

将上述代换带入原方程得到：

∫ du / (1 - u^2) = ∫ dt / sqrt(mgk)

这是一个简单的积分，可以使用部分分式分解和反三角函数来求解：

∫ du / (1 - u^2) = 1/2 ln |(1+u)/(1-u)| + C1

∫ dt / sqrt(mgk) = (1 / sqrt(mgk)) t + C2

将上述式子带回原方程，得到：

1/2 ln |(1+v/sqrt(mg/k))/(1-v/sqrt(mg/k))| = (1 / sqrt(mgk)) t + C

移项整理得到：

v(t) = sqrt(mg/k) * ( (1-e^(-2sqrt(mgk)/m t)) / (1+e^(-2sqrt(mgk)/m t)) )

根据初始条件 v(0) = 0，可以解出常数 C = 0，因此最终的解为：

v(t) = sqrt(mg/k) * ( (1-e^(-2sqrt(mgk)/m t)) / (1+e^(-2sqrt(mgk)/m t)) )