应用格林公式计算曲线积分 ∫yx^2dx-x^2dy, 其中x^2+y^2=25

根据格林公式，曲线积分可以转化为对应区域的双重积分。设 D 为曲线 x^2+y^2=25 围成的区域。则有：

∫∫D(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∫∫D(y^2 + 2x) dxdy

接下来，我们需要确定积分区域 D 的边界曲线。由于积分区域是一个圆，因此可以使用极坐标表示，即：

x = r cosθ
y = r sinθ

其中，r 的取值范围为 0 ~ 5，θ 的取值范围为 0 ~ 2π。根据边界曲线的方程，可以得到边界曲线分别为：

x^2 + y^2 = 25
r = 5

接下来，我们需要将积分区域 D 分成两部分，分别对应于圆的上半部分和下半部分。对于上半部分，θ 的取值范围为 0 ~ π，对应的双重积分为：

∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫0^π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = 5π/2

对于下半部分，θ 的取值范围为 π ~ 2π，对应的双重积分为：

∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫π^2π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = -5π/2

因此，整个曲线积分的值为 0。

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应用格林公式计算曲线积分 ∫yx^2dx-x^2dy, 其中有向曲线x^2+y^2=25

根据格林公式，曲线积分可以转化为对应区域的双重积分。设 D 为曲线 x^2+y^2=25 围成的区域。则有：

∫∫D(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∫∫D(y^2 + 2x) dxdy

接下来，我们需要确定积分区域 D 的边界曲线。根据题目中给出的有向曲线，可以看出积分区域 D 是一个圆，且按照逆时针方向给定。因此，可以使用极坐标表示，即：

x = r cosθ
y = r sinθ

其中，r 的取值范围为 0 ~ 5，θ 的取值范围为 0 ~ 2π。根据边界曲线的方程，可以得到边界曲线为：

x^2 + y^2 = 25
θ 的取值范围为 0 ~ 2π

接下来，我们可以将积分区域 D 分成两部分，分别对应于圆的上半部分和下半部分。对于上半部分，θ 的取值范围为 0 ~ π，对应的双重积分为：

∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫0^π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = 5π/2

对于下半部分，θ 的取值范围为 π ~ 2π，对应的双重积分为：

∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫π^2π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = -5π/2

因此，整个曲线积分的值为 0。

应用格林公式计算曲线积分 ∫yx^2dx-x^2dy, 其中L为下-|||-L-|||-图所示的有向曲线.-|||-y-|||-(0,5)-|||-x^2+y^2=25

首先，我们需要将曲线参数化。由于曲线是以 $x^2 + y^2 = 25$ 为条件的，我们可以使用极坐标参数化曲线：

$$x = 5\cos t, \quad y = 5\sin t, \quad 0 \leq t \leq \pi$$

接下来，我们需要计算曲线上的切向量 $\mathbf{T}(t)$ 和法向量 $\mathbf{N}(t)$。切向量可以通过对参数方程求导得到：

$$\mathbf{T}(t) = \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} 5\cos t \\ 5\sin t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\sin t \\ 5\cos t \end{pmatrix}$$

然后，我们可以通过对切向量旋转 $90^\circ$ 得到法向量：

$$\mathbf{N}(t) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{T}(t) = \begin{pmatrix} 5\cos t \\ 5\sin t \end{pmatrix}$$

现在，我们可以将曲线积分表示为：

$$\int_L yx^2 dx - x^2 dy = \int_0^\pi (5\sin t)(25\cos^2 t) (-5\sin t) dt - (25\cos^2 t)(5\cos t) (5\cos t) dt$$

$$= -625\int_0^\pi \sin^2 t \cos^2 t dt - 625\int_0^\pi \cos^4 t dt$$

对于第一个积分，我们可以使用恒等式 $\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t$：

$$-625\int_0^\pi \sin^2 t \cos^2 t dt = -\frac{625}{4}\int_0^{2\pi} \sin^2 u du = -\frac{625}{8}\int_0^{2\pi} (1 - \cos 2u) du = \frac{625\pi}{4}$$

对于第二个积分，我们可以使用恒等式 $\cos^4 t = \frac{1}{8} (3 + \cos 4t + \cos 2t)$：

$$-625\int_0^\pi \cos^4 t dt = -\frac{625}{8}\int_0^{2\pi} (3 + \cos 4u + \cos 2u) du = -\frac{625}{8}(6\pi + 2\pi + 0) = -\frac{5000\pi}{8}$$

因此，曲线积分的结果为：

$$\int_L yx^2 dx - x^2 dy = \frac{625\pi}{4} + \frac{5000\pi}{8} = \frac{7125\pi}{8}$$