应用格林公式计算曲线积分 ∫yx^2dx-x^2dy, 其中x^2+y^2=25
时间: 2023-11-13 10:53:18 浏览: 68
根据格林公式,曲线积分可以转化为对应区域的双重积分。设 D 为曲线 x^2+y^2=25 围成的区域。则有:
∫∫D(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∫∫D(y^2 + 2x) dxdy
接下来,我们需要确定积分区域 D 的边界曲线。由于积分区域是一个圆,因此可以使用极坐标表示,即:
x = r cosθ
y = r sinθ
其中,r 的取值范围为 0 ~ 5,θ 的取值范围为 0 ~ 2π。根据边界曲线的方程,可以得到边界曲线分别为:
x^2 + y^2 = 25
r = 5
接下来,我们需要将积分区域 D 分成两部分,分别对应于圆的上半部分和下半部分。对于上半部分,θ 的取值范围为 0 ~ π,对应的双重积分为:
∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫0^π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = 5π/2
对于下半部分,θ 的取值范围为 π ~ 2π,对应的双重积分为:
∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫π^2π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = -5π/2
因此,整个曲线积分的值为 0。
相关问题
应用格林公式计算曲线积分 ∫yx^2dx-x^2dy, 其中有向曲线x^2+y^2=25
根据格林公式,曲线积分可以转化为对应区域的双重积分。设 D 为曲线 x^2+y^2=25 围成的区域。则有:
∫∫D(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∫∫D(y^2 + 2x) dxdy
接下来,我们需要确定积分区域 D 的边界曲线。根据题目中给出的有向曲线,可以看出积分区域 D 是一个圆,且按照逆时针方向给定。因此,可以使用极坐标表示,即:
x = r cosθ
y = r sinθ
其中,r 的取值范围为 0 ~ 5,θ 的取值范围为 0 ~ 2π。根据边界曲线的方程,可以得到边界曲线为:
x^2 + y^2 = 25
θ 的取值范围为 0 ~ 2π
接下来,我们可以将积分区域 D 分成两部分,分别对应于圆的上半部分和下半部分。对于上半部分,θ 的取值范围为 0 ~ π,对应的双重积分为:
∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫0^π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = 5π/2
对于下半部分,θ 的取值范围为 π ~ 2π,对应的双重积分为:
∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫π^2π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = -5π/2
因此,整个曲线积分的值为 0。
应用格林公式计算曲线积分 ∫yx^2dx-x^2dy, 其中L为下-|||-L-|||-图所示的有向曲线.-|||-y-|||-(0,5)-|||-x^2+y^2=25
首先,我们需要确定曲线 L 的参数方程。观察图形可得,L 由两段曲线组成,分别为 x = -5 ~ x = 0 和 x = 0 ~ y = 5。对于第一段曲线,可以将其表示为 x = -t,y = t,其中 t 的取值范围为 0 ~ 5。对于第二段曲线,可以将其表示为 x = r cosθ,y = r sinθ,其中 r 的取值范围为 5 ~ 0,θ 的取值范围为 π/2 ~ 0。因此,整个曲线 L 的参数方程可以表示为:
x =
\begin{cases}
-t, & 0 \leq t \leq 5 \\
r \cos \theta, & 0 \leq r \leq 5, \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq 0
\end{cases}
y =
\begin{cases}
t, & 0 \leq t \leq 5 \\
r \sin \theta, & 0 \leq r \leq 5, \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq 0
\end{cases}
接下来,我们需要计算曲线积分。根据格林公式,可以将曲线积分转化为对应区域的双重积分。设 D 为曲线 L 围成的区域,由于此题中曲线 L 是分段的,因此 D 也是分成两部分。对于第一部分,可以将其表示为 y = x + 5 和 y = -x + 5 围成的区域,对应的双重积分为:
\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}) dxdy = \int_0^5 \int_{-t}^0 (-2x) dx dt = -\frac{125}{3}
对于第二部分,可以将其表示为圆心为原点,半径为 5 的圆弧所围成的区域,对应的双重积分为:
\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}) dxdy = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \int_0^5 (-2r \cos^2\theta - 2r^2) dr d\theta = -\frac{125}{3}
因此,整个曲线积分的值为 -250/3。
阅读全文