设随机变量X ∼ U(0, 1),当X = x时,Y ∼ U(0, x),求: 1) (X, Y)的联合密度函数f(x, y), 2) Z = X + Y的密度函数.
时间: 2023-09-24 18:11:48 浏览: 70
1. 联合密度函数 f(x, y) 由条件概率公式给出:
f(x, y) = f(y|x) f(x)
由于在给定 X = x 的条件下,Y 的取值范围是 [0, x],并且在该区间上服从均匀分布,因此:
f(y|x) = 1/x, 0 ≤ y ≤ x
又因为 X 服从 [0, 1] 上的均匀分布,因此:
f(x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1
因此,联合密度函数为:
f(x, y) = f(y|x) f(x) = 1/x, 0 ≤ y ≤ x ≤ 1
2. 考虑 Z = X + Y 的分布函数 F(z):
F(z) = P(Z ≤ z) = P(X + Y ≤ z)
对于给定的 z,设 X 的取值范围为 [0, x],则 Y 的取值范围为 [0, z - x],因此:
P(X + Y ≤ z) = ∫0^z ∫0^x f(x, y) dy dx
= ∫0^z ∫0^x 1/(x) dy dx
= ∫0^z dx
= z
因此,Z = X + Y 服从区间 [0, 1] 上的均匀分布,密度函数为:
f(z) = 1, 0 ≤ z ≤ 1
综上所述,(X, Y) 的联合密度函数为 f(x, y) = 1/x, 0 ≤ y ≤ x ≤ 1,Z = X + Y 的密度函数为 f(z) = 1, 0 ≤ z ≤ 1。
相关问题
设随机变量X服从参数为1的指数分布,求随机变量的函数Y=X^2的密度函数fY(y)
好的,根据变量变换的公式,有:
fY(y) = fX(g^(-1)(y)) * |(dg^(-1)(y)) / dy|
其中,g(x) = x^2,g^(-1)(y) = sqrt(y),|dg^(-1)(y)/dy| = 1 / (2 * sqrt(y))
又因为X服从参数为1的指数分布,其概率密度函数为:
fX(x) = e^(-x), x >= 0
代入公式可得:
fY(y) = e^(-sqrt(y)) / (2 * sqrt(y)), y >= 0
所以,随机变量Y的密度函数为 fY(y) = e^(-sqrt(y)) / (2 * sqrt(y)),y >= 0。
设随机变量x的密度函数为f(x)=bx0<x<1,1/x^2
好的,你的第一个问题是关于概率密度函数的。那么,对于这个概率密度函数f(x),我们需要满足两个条件:积分后等于1,且在定义域内f(x)始终大于等于0。因此,我们可以先求出b的值:
∫f(x)dx = ∫bx dx (0<x<1) + ∫1/x^2 dx (x≥1) = 1
解得b=1.5,所以密度函数f(x)为:
f(x) = 1.5x,0<x<1;
f(x) = 1/x^2,x≥1。
希望这个回答能帮到你!