设随机变量X ∼ U(0, 1),当X = x时，Y ∼ U(0, x),求: 1) (X, Y)的联合密度函数f(x, y)， 2) Z = X + Y的密度函数.

1. 联合密度函数 f(x, y) 由条件概率公式给出：

f(x, y) = f(y|x) f(x)

由于在给定 X = x 的条件下，Y 的取值范围是 [0, x]，并且在该区间上服从均匀分布，因此：

f(y|x) = 1/x, 0 ≤ y ≤ x

又因为 X 服从 [0, 1] 上的均匀分布，因此：

f(x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1

因此，联合密度函数为：

f(x, y) = f(y|x) f(x) = 1/x, 0 ≤ y ≤ x ≤ 1

2. 考虑 Z = X + Y 的分布函数 F(z)：

F(z) = P(Z ≤ z) = P(X + Y ≤ z)

对于给定的 z，设 X 的取值范围为 [0, x]，则 Y 的取值范围为 [0, z - x]，因此：

P(X + Y ≤ z) = ∫0^z ∫0^x f(x, y) dy dx
= ∫0^z ∫0^x 1/(x) dy dx
= ∫0^z dx
= z

因此，Z = X + Y 服从区间 [0, 1] 上的均匀分布，密度函数为：

f(z) = 1, 0 ≤ z ≤ 1

综上所述，(X, Y) 的联合密度函数为 f(x, y) = 1/x, 0 ≤ y ≤ x ≤ 1，Z = X + Y 的密度函数为 f(z) = 1, 0 ≤ z ≤ 1。