设随机变量X ∼ U(0, 1),当X = x时，Y ∼ U(0, x),求: 1) (X, Y)的联合密度函数f(x, y)， 2) Z = X + Y的密度函数.

1. 联合密度函数 f(x, y) 由条件概率公式给出：

f(x, y) = f(y|x) f(x)

由于在给定 X = x 的条件下，Y 的取值范围是 [0, x]，并且在该区间上服从均匀分布，因此：

f(y|x) = 1/x, 0 ≤ y ≤ x

又因为 X 服从 [0, 1] 上的均匀分布，因此：

f(x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1

因此，联合密度函数为：

f(x, y) = f(y|x) f(x) = 1/x, 0 ≤ y ≤ x ≤ 1

2. 考虑 Z = X + Y 的分布函数 F(z)：

F(z) = P(Z ≤ z) = P(X + Y ≤ z)

对于给定的 z，设 X 的取值范围为 [0, x]，则 Y 的取值范围为 [0, z - x]，因此：

P(X + Y ≤ z) = ∫0^z ∫0^x f(x, y) dy dx
= ∫0^z ∫0^x 1/(x) dy dx
= ∫0^z dx
= z

因此，Z = X + Y 服从区间 [0, 1] 上的均匀分布，密度函数为：

f(z) = 1, 0 ≤ z ≤ 1

综上所述，(X, Y) 的联合密度函数为 f(x, y) = 1/x, 0 ≤ y ≤ x ≤ 1，Z = X + Y 的密度函数为 f(z) = 1, 0 ≤ z ≤ 1。

相关问题

设(X, Y)为二维随机变量，且X,Y相互独立，则以下选项中错误的是（ ） (A) F(x, y) = FX(x)FY (y) (B) P(X ≤ x, Y > y) = P(X ≤ x)P(Y > y) (C) 2X与3Y相互独立 (D) (X, Y) ∼ N(−1, 2, −4, 9, 0.5)

选项 (C) 错误。

由于 X 和 Y 相互独立，因此它们的联合概率分布函数可以表示为：

F(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y) = FX(x)FY(y)

所以选项 (A) 成立。

对于选项 (B)，根据 X 和 Y 的独立性，有：

P(X ≤ x, Y > y) = P(X ≤ x)P(Y > y)

所以选项 (B) 也成立。

对于选项 (C)，2X 与 3Y 不一定相互独立。假设 X 服从标准正态分布，Y 服从均值为 0，方差为 1 的正态分布，则有：

Cov(2X, 3Y) = 6 Cov(X, Y) = 0

但是，2X 和 3Y 不是相互独立的，因为它们的线性组合 2X + 3Y 的方差大于 0，即 Var(2X + 3Y) = 13 Var(X) > 0。因此，选项 (C) 不成立。

对于选项 (D)，由于 X 和 Y 独立，且它们的边际分布分别为 N(-1, 2) 和 N(-4, 9)，因此它们的联合分布为二元正态分布。此外，由于它们的协方差为 0.5，因此二元正态分布的参数可以表示为：

(X, Y) ∼ N(μX, μY, σX^2, σY^2, ρ)

其中，μX = -1，μY = -4，σX^2 = 2，σY^2 = 9，ρ = 0.5。因此，选项 (D) 也成立。

综上所述，选项 (C) 错误。

若随机变量X ∼ B(16, 0.5), Y ∼ N(2, 16)且E(XY) = 20，则ρXY =（ ） (A) 0.5 (B) 4 (C) 8 (D) 16

由于 X 服从二项分布，均值为 μX = np = 16 × 0.5 = 8，方差为 σX^2 = np(1-p) = 16 × 0.5 × 0.5 = 4。

Y 服从正态分布，均值为 μY = 2，方差为 σY^2 = 16。

由于 E(XY) = 20，因此有：

E(XY) = μXμY = 8 × 2 = 16

因此，X 和 Y 的协方差为：

Cov(X, Y) = E(XY) - μXμY = 20 - 16 = 4

因此，X 和 Y 的相关系数为：

ρXY = Cov(X, Y) / σXσY = 4 / (2 × 4) = 0.5

因此，选项 (A) 0.5 是正确的答案。