设X1,X2,···,Xn是来自总体X∼U[0,θ]的一个简单随机样本， 记Y=max{X1,X2,···,Xn}。证明： P{α^(1/n)<Y/θ⩽1}=1−α 并利用这个结论给出θ的1−α水平置信区间估计。

首先，我们需要求出Y的概率密度函数。由于样本来自总体X∼U[0,θ]，所以每个样本的概率密度函数为f(x)=1/θ，其中0<=x<=θ。因为Y=max{X1,X2,···,Xn}，所以Y的概率密度函数为：

f(y) = n(1/θ)^n*y^(n-1)

接下来，我们需要求解P{α^(1/n)<Y/θ⩽1}。利用概率密度函数，我们可以得到：

P{α^(1/n)<Y/θ⩽1} = ∫(α^(1/n)*θ)^θn(1/θ)^n*y^(n-1)dy

对上式中的积分式进行变量代换，令t=y/θ，则：

P{α^(1/n)<Y/θ⩽1} = ∫α^(1/n)^1n(1/t)^nt^(n-1)dt

对上式进行积分，我们可以得到：

P{α^(1/n)<Y/θ⩽1} = 1 - α

因此，我们证明了P{α^(1/n)<Y/θ⩽1} = 1−α。接下来，我们需要给出θ的1-α水平置信区间估计。

根据题意，我们需要找到两个常数L和U，使得P(α/2<Y/θ<L)=α/2和P(Y/θ<U)=α/2。

根据前面的推导，P(α^(1/n)<Y/θ⩽1)=1−α，所以P(Y/θ<α^(1/n))=α/2，P(Y/θ>1)=α/2。

解得L=α^(1/n)和U=1，因此，θ的1-α水平置信区间为(α^(1/n), 1)，证毕。

相关问题

设X1,X2,···,Xn是来自总体X∼U[0,θ]的一个简单随机样本， 记Y=���{X1,X2,···,Xn}。证明： P � α 1 n<Y θ⩽1 � =1−α 并利用这个结论给出θ的1−α水平置信区间估计。

首先，我们可以将问题转化为求解Y的概率分布函数。由于样本来自总体X∼U[0,θ]，所以每个样本的概率密度函数为f(x)=1/θ，其中0<=x<=θ。因为样本是简单随机样本，所以每个样本都是独立的，所以Y的概率密度函数为：

f(y)=n(1/θ)^n*y^(n-1)

要求P(α/2<Yθ<1-α/2)，即求Yθ的置信区间。根据题意，我们需要找到两个常数L和U，使得P(Yθ>L)=α/2和P(Yθ<U)=1-α/2。

对于P(Yθ>L)=α/2，有：

∫L^θn(1/θ)^n*y^(n-1)dy=α/2

解得L=Y(1-α/2)。

同理，对于P(Yθ<U)=1-α/2，有：

∫θ^Un(1/θ)^n*y^(n-1)dy=α/2

解得U=Y(α/2)。

因此，θ的1-α水平置信区间为(Y(1-α/2), Y(α/2))，证毕。

设x，x2，…，xn是来自二点分布b(1，θ)的一个样本，寻求θ和g(θ)=θ(1-θ)的矩估计。

对于该问题，我可以回答。根据矩估计的方法，我们需要确定g(θ)的一阶和二阶矩。首先，由二点分布的性质可知，E(X) = θ，Var(X) = θ(1-θ)。因此，对于g(θ)=θ(1-θ)，其一阶矩为E(g(θ)) = E(θ(1-θ)) = E(θ)E(1-θ) = θ(1-θ)，二阶矩为E(g(θ)^2) = E(θ^2(1-θ)^2) = E(θ^2)E((1-θ)^2) = θ^2(1-θ)^2。因此，根据矩估计的公式，θ的矩估计为x的平均值，即θ_hat = (x1+x2+...+xn)/n，而g(θ)的矩估计为g_hat(θ) = θ_hat(1-θ_hat)。