设总体+X+的概率密度函数+ f(x)={((θ+1)+x^θ,0<x<1@0,其他) 其中𝜃＞+−+1是未知参数，设𝑋1,+𝑋2,……..,+𝑋𝑛是总体+X+的样本，分别用矩估计及最大似

根据引用[1]中提供的信息，我们可以回答如下问题：

Q: 设总体X的概率密度函数为f(x)，如何求θ的矩估计量和极大似然估计量？
A:
(1) 求θ的矩估计量：
根据矩估计的原理，我们可以通过样本矩来估计总体矩，进而得到总体参数的估计值。设总体的k阶矩为μk，则样本的k阶矩为：
$$\hat{\mu_k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^k$$
由于总体的一阶矩为：
$$\mu_1=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{C}^{+\infty}x\theta C^{\theta}x^{-(\theta+1)}dx=\frac{\theta C}{\theta-1}$$
因此，样本的一阶矩为：
$$\hat{\mu_1}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i=\bar{X}$$
将上述两个式子联立，解出θ的矩估计量为：
$$\hat{\theta}=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-C}$$

(2) 求θ的极大似然估计量：
根据极大似然估计的原理，我们需要找到一个参数θ的取值，使得样本出现的概率最大。设样本为x=(x1,x2,...,xn)，则样本的联合概率密度函数为：
$$L(\theta|x)=\prod_{i=1}^nf(x_i)=\prod_{i=1}^n(\theta C^{\theta}x_i^{-(\theta+1)})I(x_i>C)$$
其中I(x)为指示函数，当x>C时为1，否则为0。为了方便计算，我们可以对上式取对数，得到对数似然函数：
$$\ln L(\theta|x)=\sum_{i=1}^n\ln(\theta C^{\theta}x_i^{-(\theta+1)})+\sum_{i=1}^n\ln I(x_i>C)$$
$$=\sum_{i=1}^n[\ln\theta+\theta\ln C-(\theta+1)\ln x_i]+\sum_{i=1}^n\ln I(x_i>C)$$
$$=n\ln\theta+n\theta\ln C-(\theta+1)\sum_{i=1}^n\ln x_i$$
$$=n\ln\theta+n\theta\ln C-(\theta+1)\ln\prod_{i=1}^nx_i$$
对上式求导，令导数为0，解出θ的极大似然估计量为：
$$\hat{\theta}=\frac{n}{\sum_{i=1}^n\ln\frac{X_i}{C}}$$