旅行商问题 设有n个城市组成的交通图，一个售货员从住地城市出发，到其他城市各一次去推销货物，最后回到住地城市。假设任意两个城市i,j之间的距离是已知的dij是已知的，该如何选择一条最短路径。 （1）分析问题，构建数学模型； （2）使用队列式或优先队列式分支限界算法设计，写出伪代码； （3）实现算法，利用程序读取城市及距离信息，保存或打印出最短路径城市访问次序。

1. 数学模型
我们可以用图论来描述这个问题，将城市看做图中的节点，城市之间的距离看做节点之间的边，那么问题就转化成了从一个起点出发，经过所有节点恰好一次，最后回到起点的最短路径问题。这就是著名的旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）。TSP可以用数学模型来表示：

设有n个节点，分别为1, 2, ..., n，其中1为起点和终点，d(i, j)表示节点i到节点j之间的距离，x(i, j)表示路径上是否经过节点i和节点j，若经过，则x(i, j) = 1，否则x(i, j) = 0。则TSP可以用以下的数学模型表示：

minimize ∑(∑d(i, j) * x(i, j))
subject to
∑x(i, j) = 2, i = 1, ..., n, j != i
∑x(i, j) = 2, j = 1, ..., n, i != j
∑x(i, j) - ∑x(j, i) = 0, i, j = 1, ..., n, i != j
x(i, j) ∈ {0, 1}, i, j = 1, ..., n, i != j
x(i, i) = 0, i = 1, ..., n

2. 伪代码
我们可以使用分支限界算法来解决TSP问题。以下是使用优先队列式分支限界算法的伪代码：

struct node {
    int id;  // 当前节点的编号
    int cost;  // 到达当前节点的路径长度
    int vis;  // 标记哪些节点已经访问过
    bool operator < (const node& b) const {
        return cost > b.cost;  // 优先队列的比较函数
    }
};

priority_queue<node> pq;  // 定义优先队列
int best_dist;  // 记录最优路径长度
int best_path[N];  // 记录最优路径

void TSP() {
    memset(best_path, 0, sizeof(best_path));  // 初始化
    best_dist = INF;
    node root = {1, 0, 1};  // 根节点
    pq.push(root);

    while (!pq.empty()) {
        node u = pq.top(); pq.pop();
        if (u.cost >= best_dist) continue;  // 剪枝
        if (u.vis == (1 << n) - 1) {  // 找到一条完整路径
            if (u.cost + dist[u.id][1] < best_dist) {  // 更新最优路径
                best_dist = u.cost + dist[u.id][1];
                int k = 0;
                best_path[k++] = 1;
                for (int i = u.vis ^ (1 << (u.id - 1)); i; i = i >> 1) {
                    if (i & 1) best_path[k++] = __builtin_popcount(i) + 1;
                }
                best_path[k++] = 1;
            }
            continue;
        }

        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (u.vis & (1 << (v - 1))) continue;  // 已经访问过了
            node tmp = {v, u.cost + dist[u.id][v], u.vis | (1 << (v - 1))};  // 扩展节点
            pq.push(tmp);
        }
    }
}

3. 实现算法
根据上面的伪代码，我们可以实现一个求解TSP问题的程序。以下是一个基于C++的实现，假设城市数目不超过20个：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 20 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, dist[N][N];
int best_dist, best_path[N];

struct node {
    int id;  // 当前节点的编号
    int cost;  // 到达当前节点的路径长度
    int vis;  // 标记哪些节点已经访问过
    bool operator < (const node& b) const {
        return cost > b.cost;  // 优先队列的比较函数
    }
};

priority_queue<node> pq;  // 定义优先队列

void TSP() {
    memset(best_path, 0, sizeof(best_path));  // 初始化
    best_dist = INF;
    node root = {1, 0, 1};  // 根节点
    pq.push(root);

    while (!pq.empty()) {
        node u = pq.top(); pq.pop();
        if (u.cost >= best_dist) continue;  // 剪枝
        if (u.vis == (1 << n) - 1) {  // 找到一条完整路径
            if (u.cost + dist[u.id][1] < best_dist) {  // 更新最优路径
                best_dist = u.cost + dist[u.id][1];
                int k = 0;
                best_path[k++] = 1;
                for (int i = u.vis ^ (1 << (u.id - 1)); i; i = i >> 1) {
                    if (i & 1) best_path[k++] = __builtin_popcount(i) + 1;
                }
                best_path[k++] = 1;
            }
            continue;
        }

        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (u.vis & (1 << (v - 1))) continue;  // 已经访问过了
            node tmp = {v, u.cost + dist[u.id][v], u.vis | (1 << (v - 1))};  // 扩展节点
            pq.push(tmp);
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> dist[i][j];
        }
    }

    TSP();

    cout << "最短路径长度为：" << best_dist << endl;
    cout << "最短路径为：";
    for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
        cout << best_path[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

程序输入格式为：

n
d11 d12 ... d1n
d21 d22 ... d2n
...
dn1 dn2 ... dnn

其中n表示城市数目，dij表示城市i到城市j的距离。程序输出最短路径长度和最短路径访问的城市编号。