matlab求解偏微分方程组

Matlab可以使用偏微分方程工具箱（Partial Differential Equation Toolbox）求解偏微分方程组。下面以一个简单的二维热传导方程组为例，介绍一下如何使用Matlab求解偏微分方程组。

假设有一个二维热传导方程组：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t} = D \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \\
\frac{\partial v}{\partial t} = D \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \right)
\end{cases}
$$

其中，$u(x,y,t)$和$v(x,y,t)$表示两个物质的浓度随时间和空间的变化，$D$是扩散系数。

假设初始时刻，$u(x,y,0)=\sin(\pi x)\sin(\pi y)$，$v(x,y,0)=\cos(\pi x)\cos(\pi y)$。

我们可以使用Matlab中的pdepe函数求解这个方程组。具体步骤如下：

1. 定义偏微分方程的系数。在本例中，系数为$D$。

function [c,f,s] = equations(x,t,u,DuDx)
c = [1; 1]; % 定义方程组的个数
f = [D 0; 0 D]; % 定义扩散矩阵
s = [DuDx(1); DuDx(2)]; % 定义源项
end

2. 定义初始条件。在本例中，初始条件为$u(x,y,0)=\sin(\pi x)\sin(\pi y)$，$v(x,y,0)=\cos(\pi x)\cos(\pi y)$。

function u0 = initialCondition(x,y)
u0 = [sin(pi*x)*sin(pi*y); cos(pi*x)*cos(pi*y)];
end

3. 定义边界条件。在本例中，边界条件为零。

function [pl,ql,pr,qr] = boundaryConditions(xl,ul,xr,ur,t)
pl = [0; 0];
ql = [1; 1];
pr = [0; 0];
qr = [1; 1];
end

4. 定义求解区域。在本例中，求解区域为单位正方形。

x = linspace(0,1,50);
y = linspace(0,1,50);
[meshx, meshy] = meshgrid(x,y);

5. 调用pdepe函数求解偏微分方程组。

sol = pdepe(0, @equations, @initialCondition, @boundaryConditions, meshx, meshy);

最后，我们可以使用Matlab绘图工具将结果可视化。

u = sol(:,:,1);
v = sol(:,:,2);
surf(meshx, meshy, u);
title('u(x,y,t)');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('u');
figure;
surf(meshx, meshy, v);
title('v(x,y,t)');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('v');

上述代码将会在三维坐标系中绘制出$u(x,y,t)$和$v(x,y,t)$的时空分布图像。