matlab求解偏微分方程

Matlab提供了多种求解偏微分方程的函数，包括pdepe、pdepe2、pde45等。其中，pdepe函数是最常用的函数之一，可以求解二维和三维的偏微分方程组，包括抛物型、双曲型和椭圆型方程。下面以求解一维热传导方程为例进行讲解。

假设要求解的一维热传导方程为：

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x,t)$为温度分布，$\alpha$为热扩散系数。边界条件为：

$$u(0,t)=u(L,t)=0$$

初始条件为：

$$u(x,0)=f(x)$$

其中，$L$为区间长度，$f(x)$为初始温度分布。

下面是使用pdepe函数求解该方程的Matlab代码：

function [c,f,s] = heatpde(x,t,u,DuDx)
% 定义偏微分方程
c = 1;
f = DuDx;
s = 2*D*D*DuDx;
end

function u0 = heatic(x)
% 定义初始条件
u0 = sin(pi*x/L);
end

function [pl,ql,pr,qr] = heatbc(xl,ul,xr,ur,t)
% 定义边界条件
pl = ul;
ql = 0;
pr = ur;
qr = 0;
end

L = 1; % 区间长度
x = linspace(0,L,100); % 离散化x轴
t = linspace(0,1,100); % 离散化时间轴
m = 0; % 方程中的常数
sol = pdepe(m,@heatpde,@heatic,@heatbc,x,t); % 调用pdepe函数求解
u = sol(:,:,1); % 获取温度分布
surf(x,t,u); % 画出温度分布随时间的变化图

在Matlab命令行窗口中运行上述代码即可求解偏微分方程并绘制温度分布随时间的变化图。