MATLAB 用改进欧拉法求解常微分方程初值问题

改进欧拉法（Improved Euler Method），也称为Heun法，是一种一阶常微分方程数值解法。与欧拉法不同的是，改进欧拉法利用欧拉法近似值来估计下一个点的斜率，并用这个斜率来计算点的平均斜率。

改进欧拉法的公式如下：

$$y_{n+1}=y_n+h\frac{f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_n+hf(x_n,y_n))}{2}$$

其中，$h$是步长，$f(x,y)$是给定的函数。

以下是MATLAB代码示例，使用改进欧拉法求解常微分方程初值问题：

% 定义函数
f = @(x,y) x - y;

% 定义初值
x0 = 0;
y0 = 1;

% 定义步长和结束点
h = 0.1;
xn = 1;

% 初始化结果
N = round((xn - x0)/h);
x = zeros(N+1,1);
y = zeros(N+1,1);
x(1) = x0;
y(1) = y0;

% 使用改进欧拉法求解
for n = 1:N
    k1 = f(x(n),y(n));
    k2 = f(x(n+1),y(n)+h*k1);
    y(n+1) = y(n) + h*(k1+k2)/2;
    x(n+1) = x(n) + h;
end

% 输出结果
disp([x,y]);

在上面的代码中，我们使用改进欧拉法求解函数 $f(x,y)=x-y$，初值为 $x_0=0$，$y_0=1$，步长为 $h=0.1$，结束点为 $x_n=1$。

输出的结果是一个 $N+1$ 行 $2$ 列的矩阵，第一列是 $x$ 的值，第二列是 $y$ 的值。