弹簧阻尼双足机器人髋关节连接一弹簧阻尼质量模块（弹簧阻尼质量模块只能在水平方向运动），在运动过程中单支撑阶段拉格朗日动力学方程

双足机器人的运动可以用拉格朗日动力学方程来描述。

设机器人的坐标系为 $O$，机器人的质心为 $G$，双腿的接触点为 $C$，髋关节为 $H$。设机器人的质量为 $m$，重心到髋关节的距离为 $l$，弹簧阻尼质量模块的质量为 $m_H$，弹簧的劲度系数为 $k$，阻尼系数为 $c$，弹簧的自然长度为 $l_0$，弹簧的伸长量为 $l_e$。

考虑单支撑阶段，双腿的接触点 $C$ 与地面保持静止，机器人的运动由髋关节 $H$ 的运动描述。设髋关节的角度为 $\theta$，髋关节的角速度为 $\dot{\theta}$，弹簧阻尼质量模块的位置为 $x$，弹簧阻尼质量模块的速度为 $\dot{x}$。

根据牛顿第二定律，可得机器人的运动方程：

$$
(m+m_H)\ddot{x}+c(\dot{x}-l_e\dot{\theta})+k(x-l_e\theta)=0
$$

根据受力分析，可得髋关节的运动方程：

$$
(l\cos\theta) m\ddot{x}+(l-l\sin\theta)m\ddot{\theta}+(l-l\sin\theta)m\dot{\theta}^2+(m+m_H)gl\sin\theta=0
$$

将 $x$ 和 $\theta$ 看作广义坐标，可得机器人的拉格朗日函数：

$$
\begin{aligned}
L&=\frac{1}{2}(m+m_H)\dot{x}^2+\frac{1}{2}c(\dot{x}-l_e\dot{\theta})^2+\frac{1}{2}k(x-l_e\theta)^2 \\
&\quad+\frac{1}{2}(l\cos\theta) m\dot{x}^2+\frac{1}{2}(l-l\sin\theta)m\dot{\theta}^2-(m+m_H)gl\cos\theta
\end{aligned}
$$

根据拉格朗日方程，可得机器人的运动方程：

$$
\begin{aligned}
&(m+m_H)\ddot{x}+c(\dot{x}-l_e\dot{\theta})+k(x-l_e\theta) \\
&\quad-(l\cos\theta) m\ddot{\theta}-(l-l\sin\theta)m\dot{\theta}^2-(m+m_H)gl\sin\theta=0 \\
&(l\cos\theta) m\ddot{x}+(l-l\sin\theta)m\ddot{\theta}+(l-l\sin\theta)m\dot{\theta}^2+(m+m_H)gl\sin\theta=0
\end{aligned}
$$

这就是弹簧阻尼双足机器人髋关节连接一弹簧阻尼质量模块在运动过程中单支撑阶段的拉格朗日动力学方程。