A,B两条生产线，A可加工所有产品,B加工部分产品，用matlab写一段函数，使完成所有种类的产品加工时间最少

假设有 $n$ 种产品需要加工，$m$ 个工序需要完成。设 $t_{ij}$ 表示第 $i$ 种产品在第 $j$ 个工序上需要的加工时间，$x_{ij}$ 表示在第 $i$ 条生产线上完成第 $j$ 个工序的时间。由于 $B$ 生产线不能加工所有产品，因此需要引入决策变量 $y_j$ 表示第 $j$ 个工序是否在 $B$ 生产线上加工，$y_j=1$ 表示在 $B$ 生产线上加工，$y_j=0$ 表示在 $A$ 生产线上加工。

目标是最小化加工时间，可以通过以下线性规划模型实现：

$$
\begin{aligned}
\min \quad & \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} t_{ij}x_{ij}\\
\text{s.t.} \quad & x_{ij} \geq 0, \quad i=1,\ldots,n, \quad j=1,\ldots,m\\
& \sum_{j=1}^{m} x_{ij} = 1, \quad i=1,\ldots,n\\
& \sum_{j=1}^{m} y_jt_{ij} \leq \sum_{j=1}^{m} (1-y_j)t_{ij}, \quad i=1,\ldots,n\\
& \sum_{j=1}^{m} y_jt_{ij} + \sum_{j=1}^{m} (1-y_j)t_{ij} = \sum_{j=1}^{m} t_{ij}, \quad i=1,\ldots,n\\
& y_j \in \{0, 1\}, \quad j=1,\ldots,m\\
& \sum_{j=1}^{m} y_j \leq k
\end{aligned}
$$

其中第一条约束是变量非负性约束，表示完成某个工序的时间不能为负数；第二条约束保证每种产品都必须经过所有的工序；第三条约束表示如果第 $i$ 种产品在 $B$ 生产线上加工，那么在 $A$ 生产线上加工所需时间的和不能小于在 $B$ 生产线上加工的时间；第四条约束表示每种产品都必须在总加工时间内完成；第五条约束限制了在 $B$ 生产线上加工的工序数量不能超过 $k$。

使用 Matlab 实现可以如下：

function [x, fval] = production_optimization(A, B, T, k)
% A: 可以加工所有产品的生产线工序数量，1*m 的向量
% B: 只能加工部分产品的生产线工序数量，1*m 的向量
% T: n*m 的加工时间矩阵，其中 T(i,j) 表示第 i 种产品在第 j 个工序上的加工时间
% k: B 生产线上最多加工的工序数量

m = size(T, 2);
n = size(T, 1);
f = reshape(T', 1, n * m);

% 等式约束
Aeq = kron(eye(n), ones(1, m));
beq = ones(n, 1);

% 不等式约束
Aineq1 = kron(eye(n), [B; A]);
bineq1 = [ones(size(B)); ones(size(A))];

Aineq2 = kron(eye(n), [1 - B; A]);
bineq2 = [zeros(size(B)); ones(size(A))];

Aineq3 = kron(ones(1, n), eye(m));
bineq3 = k * ones(m, 1);

% 变量上下界
lb = zeros(1, n * m);
ub = ones(1, n * m);

% 求解线性规划模型
options = optimoptions('linprog', 'Display', 'none');
[x, fval] = linprog(f, [Aineq1; Aineq2; Aineq3], [bineq1; bineq2; bineq3], Aeq, beq, lb, ub, options);
fval = fval / sum(reshape(x, n, m), 1);
end

其中输入参数 `A` 和 `B` 分别表示可以加工所有产品和只能加工部分产品的生产线上每个工序的数量，`T` 是加工时间矩阵，`k` 是 B 生产线上最多加工的工序数量。输出参数 `x` 是每个工序在每个生产线上的加工时间，`fval` 是最小化的加工时间。