题目描述 n个人排成一圈，按顺时针方向依次编号1，2，3…n。从编号为1的人开始顺时针"一二三...."报数，报到m的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。最终一定会剩下一个人。试问最后剩下的人的编号。 本题的数据规模更具有挑战性，尝试更通用且高效的算法。 输入 不超过1000组数据。 每组数据一行，每行两个正整数，代表人数n (1 <= n < 231)和m(1<=m<=1000)。 输出 每组输入数据输出一行, 仅包含一个整数，代表最后剩下的人的编号。 样例输入 Copy 7 2 2 2 样例输出 Copy 7 1

这是一道经典的约瑟夫问题，可以用递推或者数学规律的方法来解决。这里给出递推的解法：

假设f(n, m)表示n个人每次报数报到m时最后剩下的人的编号。第一轮报数过后，编号为m % n的人出圈，剩下n-1个人。接下来需要重新编号，假设原来编号为k的人在新的编号下为(k-m%n+n)%n+1，由此可以得到递推公式：

$$f(n, m) = \begin{cases} 1, & n = 1 \\ (f(n-1, m) + m-1) \bmod n + 1, & n > 1 \end{cases}$$

其中，符号“$\bmod$”表示求模运算，即取余数。这个递推公式可以用动态规划或者递归的方法来实现。下面是一个用递归实现的代码示例：

def josephus(n, m):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return (josephus(n-1, m) + m-1) % n + 1

n, m = map(int, input().split())
print(josephus(n, m))

这个代码的时间复杂度为$O(n)$，当n很大时可能会超时。如果要进一步优化，可以使用数学规律的方法，时间复杂度为$O(\log n)$。

相关问题

n个人排成一圈，按顺时针方向依次编号1，2，3…n。从编号为1的人开始顺时针"一二"报数，报到2的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。最终一定会剩下一个人。试问最后剩下的人的编号。

这个问题可以使用约瑟夫问题的思路来解决。设最后剩下的人的编号为 f(n,m)，表示有 n 个人时，按照题目的规则报数到 m 的人最后剩下的编号。

当 n=1 时，剩下的人的编号为1，即 f(1,m)=1。

当 n>1 时，第一轮报数后，编号为 m 的人出圈，剩下了 n-1 个人，假设剩下的人继续从编号为 m+1 开始报数，那么他们的编号会变成 1，2，...，n-m。因此，剩下的人最后的编号就是 f(n-1,m)。但是，这个编号是相对于剩下的 n-1 个人来说的，如果把它转化为相对于原来的 n 个人的编号，就需要加上 m，即 f(n,m)=f(n-1,m)+m。但是，由于每次报数后都是从下一个人开始报数，因此，编号也要相应地向前移动 m 个位置，即 f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n，其中 "%" 表示取模运算。

按照上述递推公式，可以求出最后剩下的人的编号。

n个人排成一圈,按顺时针方向依次编号1,2,3…n。从编号为1的人开始顺时针一二报数,报到2的人退出圈子。这样不断循环下去,圈子里的人将不断减少。最终一定会剩下一个人。试问最后剩下的人的编号。 要求程序模

以下是使用链表模拟循环链表的解法，时间复杂度为O(nm)：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct node {
    int num; // 编号
    struct node *next; // 下一个节点
} Node;

int main() {
    int n; // n个人
    int m = 2; // 报数到m的人出圈
    scanf("%d", &n);
    Node *head = (Node*)malloc(sizeof(Node)); // 创建循环链表
    head->num = 1;
    Node *p = head;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        Node *new_node = (Node*)malloc(sizeof(Node));
        new_node->num = i;
        p->next = new_node;
        p = new_node;
    }
    p->next = head; // 链表首尾相连
    p = head;
    while (p->next != p) { // 只要还有超过1个人在圈子里就继续报数
        for (int i = 1; i < m; i++) { // 报数到m的人出圈
            p = p->next;
        }
        Node *q = p->next;
        p->next = q->next;
        printf("%d ", q->num); // 输出出圈的人的编号
        free(q); // 释放出圈的人的内存空间
    }
    printf("%d", p->num); // 剩下最后一个人的编号
    free(p); // 释放最后一个人的内存空间
    return 0;
}

上述代码中，我们使用一个循环链表来模拟圆桌上的人。首先创建一个包含n个节点的循环链表，每个节点代表一个人，从编号1开始顺时针排列。然后按照题目要求进行报数和出圈，直到圆桌上只剩下一个人。最后输出这个人的编号，并释放所有节点的内存空间。