《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.6 列昂惕夫投入产出模型

列昂惕夫投入产出模型是一种经济学模型，用于描述一个经济体系中各个产业之间的相互依赖关系。该模型最初由苏联经济学家列昂惕夫于20世纪30年代提出，目的是为了帮助计划经济的国家制定经济计划。

该模型假设一个经济体系中有n个产业，每个产业都需要一定数量的投入才能产生一定数量的产出。这些投入和产出可以用一个n×n的矩阵A来表示，其中第i行第j列的元素aij表示第j个产业对于第i个产业的投入量。同样，矩阵B表示各个产业的产出量，其中第i行第j列的元素bij表示第i个产业对于第j个产业的产出量。

通过矩阵A和矩阵B，我们可以计算出各个产业的总产出和总投入。设矩阵x表示各个产业的投入量，矩阵y表示各个产业的产出量，则有：

y = Bx

其中，y和x均为n×1的列向量。该方程组可以使用矩阵的逆来求解：

x = B⁻¹y

通过计算逆矩阵B⁻¹，我们可以得到各个产业的最终需求量，从而可以为经济计划提供决策依据。