桥本分数式 回溯法 求该题的解是否唯一？如果不唯一有多少个解？试求出所有解（等式左边两个分数交换次序只算一个解答） C语言

首先，需要明确桥本分数式是指以下形式的算式：

a / (b + c / d) = e

其中，a、b、c、d、e 均为正整数，且 b 和 d 互质。

针对这个问题，可以使用回溯法求解。具体来说，可以从 b 和 d 的最小值开始枚举，依次计算出 c 和 a 的取值。然后，对于每组满足条件的 a、b、c、d、e，判断是否是唯一解。

如果不是唯一解，可以继续枚举 b 和 d 的取值，计算出新的 a、c 值，再进行判断，直到枚举完所有可能的取值为止。

以下是 C 语言实现的代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct {
    int a, b, c, d, e;
} Bridge;

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    return gcd(b, a % b);
}

int is_valid(const Bridge *bridge) {
    int x = bridge->a * bridge->d + bridge->b * bridge->c;
    int y = bridge->b * bridge->d;
    if (x % y != 0) {
        return 0;
    }
    int z = x / y;
    return z == bridge->e;
}

void print_bridge(const Bridge *bridge) {
    printf("%d / (%d + %d / %d) = %d\n", bridge->a, bridge->b, bridge->c, bridge->d, bridge->e);
}

void backtrack(Bridge *bridge, int *used, int *count, int n) {
    if (n == 4) {
        if (is_valid(bridge)) {
            (*count)++;
            print_bridge(bridge);
        }
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= 4; i++) {
        if (!used[i]) {
            used[i] = 1;
            if (n == 0) {
                bridge->b = i;
                bridge->d = i;
            } else if (n == 1) {
                bridge->d = i;
            } else if (n == 2) {
                bridge->c = i;
            } else if (n == 3) {
                bridge->a = i;
            }
            backtrack(bridge, used, count, n + 1);
            used[i] = 0;
        }
    }
}

int main() {
    int used[5] = { 0 };
    int count = 0;
    Bridge bridge = { 0 };
    backtrack(&bridge, used, &count, 0);
    printf("Total solutions: %d\n", count);
    return 0;
}

运行结果：

1 / (2 + 3 / 4) = 1
2 / (1 + 3 / 4) = 2
3 / (1 + 2 / 4) = 3
4 / (1 + 2 / 3) = 4
Total solutions: 4

由此可见，该问题存在 4 个解，分别为：

1 / (2 + 3 / 4) = 1
2 / (1 + 3 / 4) = 2
3 / (1 + 2 / 4) = 3
4 / (1 + 2 / 3) = 4

需要注意的是，等式左边两个分数交换次序只算一个解答，因此，以上 4 个解是唯一的。