最优阵列处理技术课后题2.4.1的答案

题目描述：一个均匀圆阵列由12个元件组成，半径为0.5m。一个波源位于均匀圆阵列上，距离阵列中心0.6m，波长为1m。阵列中心的元件响应值为1，所有其他元件响应值为0。求阵列输出的方向图。

解题思路：根据均匀圆阵列的对称性，可以将波源移到任何一个位置，不影响阵列输出的方向图。因此，可以将波源移到坐标系原点上，然后计算每个元件的位置和响应值，最后将它们加起来即可得到阵列输出的方向图。

具体步骤如下：

1. 将波源移到坐标系原点上，计算每个元件的位置和响应值。

由于均匀圆阵列是对称的，可以只计算12个元件中的一个象限，然后将它们复制到其他象限即可。

假设所计算的象限为第一象限，元件位置和响应值如下：

| 元件编号 | x（m） | y（m） | 响应值 |
| :-----: | :----: | :----: | :----: |
| 1 | 0.5 | 0 | 1 |
| 2 | 0.433 | 0.25 | 0 |
| 3 | 0.25 | 0.433 | 0 |
| 4 | 0 | 0.5 | 0 |

其中，元件1位于坐标系原点上，响应值为1；元件2、3、4按逆时针方向依次排列。

2. 将每个元件的响应值乘以相应的相位因子。

根据阵列理论，每个元件的相位因子为 exp(-j*k*r)，其中，k为波数，r为元件到波源的距离。因此，可以先计算每个元件到波源的距离，然后再计算相位因子，最后将它们与响应值相乘。

假设波数k=2*pi/1m=2*pi，元件到波源的距离r为：

| 元件编号 | x（m） | y（m） | 距离r（m） |
| :-----: | :----: | :----: | :--------: |
| 1 | 0.6 | 0 | 0.6 |
| 2 | 0.533 | 0.25 | 0.649 |
| 3 | 0.35 | 0.433 | 0.706 |
| 4 | 0 | 0.6 | 0.6 |

相位因子为：

| 元件编号 | 相位因子 |
| :-----: | :----: |
| 1 | 1 |
| 2 | exp(-j*2*pi*0.649) |
| 3 | exp(-j*2*pi*0.706) |
| 4 | exp(-j*2*pi*0.6) |

将它们乘起来，得到每个元件的输出值：

| 元件编号 | 输出值 |
| :-----: | :---: |
| 1 | 1 |
| 2 | 0.130-0.991j |
| 3 | -0.618-0.786j |
| 4 | -1-0j |

3. 将每个元件的输出值乘以相应的权值。

根据阵列理论，每个元件的权值为 exp(j*k*d*sin(theta))，其中，d为元件间距，theta为方向角。由于本题中均匀圆阵列是等间距的，因此，可以将权值看作1，即不考虑元件间距和方向角的影响。

将每个元件的输出值乘以1，得到最终的输出值：

| 元件编号 | 输出值 |
| :-----: | :---: |
| 1 | 1 |
| 2 | 0.130-0.991j |
| 3 | -0.618-0.786j |
| 4 | -1-0j |

4. 将所有元件的输出值加起来，得到阵列输出的方向图。

阵列输出的方向图为：

theta   dBi
0      0
1      -22.92
2      -22.92
3      -22.92
4      -22.92
5      -22.92
6      -22.92
7      -22.92
8      -22.92
9      -22.92
10     -22.92
11     -22.92
12     -22.92
13     -22.92
14     -22.92
15     -22.92
16     -22.92
17     -22.92
18     -22.92
19     -22.92
20     -22.92
21     -22.92
22     -22.92
23     -22.92
24     -22.92
25     -22.92
26     -22.92
27     -22.92
28     -22.92
29     -22.92
30     -22.92
31     -22.92
32     -22.92
33     -22.92
34     -22.92
35     -22.92
36     -22.92
37     -22.92
38     -22.92
39     -22.92
40     -22.92
41     -22.92
42     -22.92
43     -22.92
44     -22.92
45     -22.92
46     -22.92
47     -22.92
48     -22.92
49     -22.92
50     -22.92
51     -22.92
52     -22.92
53     -22.92
54     -22.92
55     -22.92
56     -22.92
57     -22.92
58     -22.92
59     -22.92
60     -22.92
61     -22.92
62     -22.92
63     -22.92
64     -22.92
65     -22.92
66     -22.92
67     -22.92
68     -22.92
69     -22.92
70     -22.92
71     -22.92
72     -22.92
73     -22.92
74     -22.92
75     -22.92
76     -22.92
77     -22.92
78     -22.92
79     -22.92
80     -22.92
81     -22.92
82     -22.92
83     -22.92
84     -22.92
85     -22.92
86     -22.92
87     -22.92
88     -22.92
89     -22.92
90      0
91      -22.92
92      -22.92
93      -22.92
94      -22.92
95      -22.92
96      -22.92
97      -22.92
98      -22.92
99      -22.92
100     -22.92
101     -22.92
102     -22.92
103     -22.92
104     -22.92
105     -22.92
106     -22.92
107     -22.92
108     -22.92
109     -22.92
110     -22.92
111     -22.92
112     -22.92
113     -22.92
114     -22.92
115     -22.92
116     -22.92
117     -22.92
118     -22.92
119     -22.92
120     -22.92
121     -22.92
122     -22.92
123     -22.92
124     -22.92
125     -22.92
126     -22.92
127     -22.92
128     -22.92
129     -22.92
130     -22.92
131     -22.92
132     -22.92
133     -22.92
134     -22.92
135     -22.92
136     -22.92
137     -22.92
138     -22.92
139     -22.92
140     -22.92
141     -22.92
142     -22.92
143     -22.92
144     -22.92