bp神经网络误差计算部分

在BP神经网络中，误差计算部分主要涉及到两个方面：前向传播和反向传播。

1. 前向传播：

在前向传播过程中，输入样本经过网络中的每一个神经元，逐层传递到输出层。在每个神经元中，输入信号通过加权和的方式得到输出信号，然后再经过一个激活函数进行非线性变换。前向传播的过程可以表示为：

$z^{(l)} = W^{(l)}a^{(l-1)}+b^{(l)}$

$a^{(l)} = g(z^{(l)})$

其中 $W^{(l)}$ 和 $b^{(l)}$ 分别表示第 $l$ 层的权重矩阵和偏置向量，$a^{(l-1)}$ 表示第 $l-1$ 层的输出，$g(\cdot)$ 表示激活函数，$z^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的加权和，$a^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的输出。

2. 反向传播：

在反向传播过程中，我们需要计算出网络预测值与实际值之间的误差，并将这个误差传递回每个神经元，从而更新权重和偏置。误差计算可以使用均方误差（MSE）或交叉熵（Cross-Entropy）等指标。误差计算公式如下：

$E = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y_i - \hat{y_i})^2$

其中，$m$ 表示样本数，$y_i$ 表示第 $i$ 个样本的实际值，$\hat{y_i}$ 表示第 $i$ 个样本的预测值。

反向传播的过程可以分为两个阶段：反向传播误差和权重更新。

反向传播误差：

反向传播误差是将输出层的误差逐层向前传递，计算每个神经元的误差。误差计算公式如下：

$\delta^{(l)} = g'(z^{(l)})\odot(W^{(l+1)T}\delta^{(l+1)})$

其中，$g'(\cdot)$ 表示激活函数的导数，$\delta^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的误差，$\odot$ 表示元素乘积。

权重更新：

权重更新是根据误差计算公式，将误差逐层向前传递，更新每个神经元的权重和偏置。权重更新公式如下：

$W^{(l)} = W^{(l)} - \alpha\delta^{(l)}(a^{(l-1)})^T$

$b^{(l)} = b^{(l)} - \alpha\delta^{(l)}$

其中，$\alpha$ 表示学习率。