用蒙特卡洛方法计算定积分

下面以计算函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 在区间 $[0,1]$ 上的定积分为例，展示如何使用蒙特卡洛方法进行计算。

1. 确定积分区间和被积函数：$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，积分区间为 $[0,1]$。

2. 随机生成大量的点，坐标范围应该与积分区间相同。这里我们生成 $n$ 个点。

import random

n = 1000000  # 生成的随机点数量
points = [(random.uniform(0, 1), random.uniform(0, 1)) for i in range(n)]

3. 对于每个点，计算其在被积函数下的函数值。

f_points = [(1 / (1 + x**2)) for x, y in points]

4. 根据所有点的函数值计算出积分估计值，即积分区间面积与样本点总数的比值。

integral = sum(f_points) / n
result = integral * 1  # 积分区间长度为 1

当 $n$ 越大时，计算出的积分值越接近真实积分值。