2.利用蒙特卡洛方法求定积分：.

蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，可以用来求解定积分。假设要求解的定积分为：

$$
I = \int_{a}^{b}f(x)dx
$$

首先，我们需要在区间 $[a,b]$ 内随机生成 $n$ 个样本点 $(x_i,y_i)$，其中 $x_i$ 是在 $[a,b]$ 内均匀分布的随机数，而 $y_i$ 则是在 $[0, f_{\max}]$ 内均匀分布的随机数，其中 $f_{\max}$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内的最大值。然后，我们计算样本点 $(x_i,y_i)$ 落在函数 $f(x)$ 下方的比例 $p$，并用这个比例来估计定积分 $I$：

$$
I \approx p(b-a)f_{\max}
$$

随着样本点数 $n$ 的增加，估计的精度会逐渐提高。

下面是一个使用 Python 实现蒙特卡洛方法求定积分的例子：

import random

def monte_carlo_integration(f, a, b, n):
    f_max = max([f(x) for x in range(a, b+1)])
    count = 0
    for i in range(n):
        x = random.uniform(a, b)
        y = random.uniform(0, f_max)
        if y <= f(x):
            count += 1
    p = count / n
    return p * (b-a) * f_max

# 示例函数：求 sin(x) 在 [0, pi] 内的定积分
def f(x):
    return math.sin(x)

result = monte_carlo_integration(f, 0, math.pi, 1000000)
print(result)

其中，`f` 是要求解的函数，`a` 和 `b` 是积分区间的上下限，`n` 是样本点数。在上面的例子中，我们使用蒙特卡洛方法来求解了 $\int_0^\pi \sin(x) dx$，样本点数为 $1000000$。